反常积分 int_(0)^(pi)/(2) ln (sin x) , dx 的敛散性，下列说法正确的是()A. 发散B. 收敛C. 绝对收敛D. 条件收敛

本题考查反常积分敛散性的判断，特别是绝对收敛和条件收敛的概念。解题的关键思路是先判断积分是否绝对收敛，即判断 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 的敛散性；若不绝对收敛，再判断 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \, dx$ 本身的敛散性。

步骤一：判断积分是否绝对收敛

考虑积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$。

• 当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，则 $\ln(\sin x) \sim \ln x$。
• 对于积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$，我们将其拆分为两部分：$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\sin x)| \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$。
  • 先看 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\sin x)| \, dx$：
    因为当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，所以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 与 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln x| \, dx$ 敛散性相同。
    根据反常积分的极限判别法，对于 $\int_{0}^{a} f(x)dx$（$a>0$），若 $\lim_{x \to 0^+} x^p f(x) = l$（$0 < l < +\infty$），当 $0 < p < 1$ 时，积分收敛。
    对于 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln x| \, dx$，取 $p=\frac{1}{2}$，则 $\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} |\ln x| = \lim_{x \to 0^+} \frac{|\ln x|}{x^{-\frac{1}{2}}}$，利用洛必达法则，对分子分母分别求导，$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}} = \lim_{x \to 0^+} 2x^{\frac{1}{2}} = 0$，所以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln x| \, dx$ 收敛，即 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 收敛。
  • 再看 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$：
    令 $t=\frac{\pi}{2}-x$，则 $dt=-dx$，当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时，$t=\frac{\pi}{4}$；当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$t=0$。
    $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\cos t)| \, dt$，同理可得 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\cos t)| \, dt$ 也收敛。
    由于 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 和 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 都收敛，所以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\ln (\sin x)| \, dx$ 收敛，即原积分绝对收敛。