曲面 arctan (y)/(1 + xz) = (pi)/(4) 在点 (-2,1,0) 处的切平面方程是 ______.
曲面 $\arctan \frac{y}{1 + xz} = \frac{\pi}{4}$ 在点 $(-2,1,0)$ 处的切平面方程是 ______.
题目解答
答案
我们要求的是曲面
$\arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) = \frac{\pi}{4}$
在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。
第一步：理解曲面形式
这是一个隐式曲面，可以写成：
$F(x, y, z) = \arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) - \frac{\pi}{4} = 0$
我们要求的是这个曲面在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。
第二步：求梯度向量（法向量）
曲面在某点的切平面的法向量是该点处的梯度向量：
$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$
我们先写出 $F(x, y, z)$：
$F(x, y, z) = \arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) - \frac{\pi}{4}$
设：
$u = \frac{y}{1 + xz}
\Rightarrow F = \arctan(u) - \frac{\pi}{4}$
我们用链式法则来求偏导数。
1. 对 $x$ 求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{d}{du} \arctan(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$
先计算：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{1 + xz} \right)
= y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{1 + xz} \right)
= y \cdot \left( -\frac{z}{(1 + xz)^2} \right)
= -\frac{yz}{(1 + xz)^2}$
所以：
$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{yz}{(1 + xz)^2} \right)$
2. 对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( \frac{1}{1 + xz} \right)$
3. 对 $z$ 求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{y}{1 + xz} \right) = y \cdot \left( -\frac{x}{(1 + xz)^2} \right) = -\frac{xy}{(1 + xz)^2}$
所以：
$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{xy}{(1 + xz)^2} \right)$
第三步：代入点 $(-2, 1, 0)$
我们先计算在点 $(-2, 1, 0)$ 处的各个量：
- $x = -2$, $y = 1$, $z = 0$
- $u = \frac{y}{1 + xz} = \frac{1}{1 + (-2)(0)} = \frac{1}{1} = 1$
- $1 + u^2 = 1 + 1 = 2$
现在计算偏导数：
1. $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1 \cdot 0}{(1 + (-2)(0))^2} \right) = 0$
2. $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 + (-2)(0)} \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
3. $\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{(-2)(1)}{(1 + (-2)(0))^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{1} \right) = 1$
第四步：写出切平面方程
切平面方程为：
$\frac{\partial F}{\partial x}(x + 2) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - 1) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - 0) = 0$
代入偏导数值：
$0(x + 2) + \frac{1}{2}(y - 1) + 1(z - 0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}(y - 1) + z = 0$
两边乘以 2 得：
$y - 1 + 2z = 0 \Rightarrow y + 2z = 1$
✅ 最终答案：
$\boxed{y + 2z = 1}$
这就是曲面在点 $(-2, 1, 0)$ 处的切平面方程。
解析
本题考查曲面切平面方程的求解，解题思路是先将曲面方程表示为隐函数形式，然后求出该隐函数的梯度向量，此梯度向量即为曲面在某点处切平面的法向量，最后利用点法式方程求出切平面方程。
- 将曲面方程表示为隐函数形式：
已知曲面方程$\arctan \frac{y}{1 + xz} = \frac{\pi}{4}$，令$F(x, y, z) = \arctan \left( \frac{y}{1 + xz} \right) - \frac{\pi}{4}$，则曲面可表示为$F(x, y, z)=0$。 - 求梯度向量（法向量）：
- 设$u = \frac{y}{1 + xz}$，则$F = \arctan(u) - \frac{\pi}{4}$。
- 对$x$求偏导：
根据链式法则$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{d}{du} \arctan(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$，其中$\frac{d}{du} \arctan(u)=\frac{1}{1 + u^2}$。
先计算$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{1 + xz} \right)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{1 + xz}\right)=y\cdot\left(-\frac{z}{(1 + xz)^2}\right)=-\frac{yz}{(1 + xz)^2}$。
所以$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{yz}{(1 + xz)^2} \right)$。 - 对$y$求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$，而$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{1 + xz}$，所以$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( \frac{1}{1 + xz} \right)$。 - 对$z$求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{y}{1 + xz} \right)=y\cdot\left(-\frac{x}{(1 + xz)^2}\right)=-\frac{xy}{(1 + xz)^2}$。
所以$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left( -\frac{xy}{(1 + xz)^2} \right)$。
- 代入点$(-2, 1, 0)$计算偏导数的值：
当$x = -2$，$y = 1$，$z = 0$时，$u = \frac{y}{1 + xz} = \frac{1}{1 + (-2)\times0} = 1$，$1 + u^2 = 1 + 1 = 2$。- $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1\times0}{(1 + (-2)\times0)^2} \right) = 0$。
- $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{1 + (-2)\times0} \right) = \frac{1}{2}$。
- $\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{(-2)\times1}{(1 + (-2)\times0)^2} \right) = 1$。
- 写出切平面方程：
切平面方程的点法式为$\frac{\partial F}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - z_0) = 0$，其中$(x_0,y_0,z_0)=(-2,1,0)$。
代入偏导数值可得$0\times(x + 2) + \frac{1}{2}\times(y - 1) + 1\times(z - 0) = 0$，即$\frac{1}{2}(y - 1) + z = 0$。
两边同乘以$2$得$y - 1 + 2z = 0$，整理得$y + 2z = 1$。