函数z=xy在条件x+y=1下的极大值为:A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (1)/(3)D. 1

本题考查条件极值的求解，可使用拉格朗日乘数法或消元法来求解函数在给定条件下的极值。这里我们使用消元法，其思路是先根据约束条件将目标函数转化为一元函数，然后对一元函数求导，找出驻点，再通过二阶导数判断驻点是极大值点还是极小值点，最后求出极大值。

1. 根据约束条件消去一个变量：
   已知条件$x + y = 1$，移项可得$y = 1 - x$。
   将$y = 1 - x$代入目标函数$z = xy$中，得到$z$关于$x$的一元函数：
   $z = x(1 - x)=x - x^2$，其定义域为$R$。
2. 求$z$关于$x$的一阶导数：
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$z = x - x^2$求导：
   $z^\prime=(x - x^2)^\prime=(x)^\prime-(x^2)^\prime=1 - 2x$。
3. 求驻点：
   令$z^\prime = 0$，即$1 - 2x = 0$，解方程可得：
   $2x = 1$，$x = \frac{1}{2}$。
4. 求$z$关于$x$的二阶导数：
   对$z^\prime = 1 - 2x$再次求导：
   $z^{\prime\prime}=(1 - 2x)^\prime=(1)^\prime-(2x)^\prime=0 - 2=-2$。
5. 判断驻点的性质：
   因为$z^{\prime\prime}=-2\lt0$，根据二阶导数判别法可知，函数$z$在$x = \frac{1}{2}$处取得极大值。
6. 求极大值：
   将$x = \frac{1}{2}$代入$z = x - x^2$中，可得：
   $z=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。