33.（2.0分）可微的多元函数在点P₀处沿梯度正反方向的方向导数都最大。A. 对B. 错

本题考查多元函数方向导数与梯度的相关知识。解题的关键在于明确多元函数在某点处沿梯度方向和负梯度方向的方向导数的性质。

1. 明确方向导数与梯度的关系

设多元函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微，其梯度为 $\nabla f(P_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(P_0),\frac{\partial f}{\partial y}(P_0)\right)$。
函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0$ 处沿单位向量 $\vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}=\nabla f(P_0)\cdot\vec{l}=\frac{\partial f}{\partial x}(P_0)\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}(P_0)\cos\beta$。

2. 分析沿梯度方向的方向导数

梯度方向的单位向量为 $\vec{e}=\frac{\nabla f(P_0)}{\vert\nabla f(P_0)\vert}$，则沿梯度方向的方向导数为：
$\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}=\nabla f(P_0)\cdot\vec{e}=\nabla f(P_0)\cdot\frac{\nabla f(P_0)}{\vert\nabla f(P_0)\vert}=\frac{\vert\nabla f(P_0)\vert^2}{\vert\nabla f(P_0)\vert}=\vert\nabla f(P_0)\vert$。
根据柯西 - 施瓦茨不等式 $(a_1b_1 + a_2b_2)^2\leqslant(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$，对于 $\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}=\nabla f(P_0)\cdot\vec{l}$，有 $\vert\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}\vert=\vert\nabla f(P_0)\cdot\vec{l}\vert\leqslant\vert\nabla f(P_0)\vert\vert\vec{l}\vert$，因为 $\vert\vec{l}\vert = 1$，所以 $\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}\leqslant\vert\nabla f(P_0)\vert$，即沿梯度方向的方向导数最大。

3. 分析沿负梯度方向的方向导数

负梯度方向的单位向量为 $-\vec{e}=-\frac{\nabla f(P_0)}{\vert\nabla f(P_0)\vert}$，则沿负梯度方向的方向导数为：
$\frac{\partial f}{\partial l}\vert_{P_0}=\nabla f(P_0)\cdot(-\vec{e})=\nabla f(P_0)\cdot\left(-\frac{\nabla f(P_0)}{\vert\nabla f(P_0)\vert}\right)=-\frac{\vert\nabla f(P_0)\vert^2}{\vert\nabla f(P_0)\vert}=-\vert\nabla f(P_0)\vert$。
显然，沿负梯度方向的方向导数是最小的，而不是最大的。

所以“可微的多元函数在点 $P_0$ 处沿梯度正反方向的方向导数都最大”这一说法是错误的。