6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=}e^-(x+y),&x>0,y>0,0,&其他, 求cov(X,Y),ρXY.

本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度、期望、方差、协方差以及相关系数的计算。解题思路如下：

1. 求边缘概率密度函数：
   • 对于二维随机变量$(X,Y)$，边缘概率密度函数$f_X(x)$是对$y$在整个取值范围上积分得到，$f_Y(y)$是对$x$在整个取值范围上积分得到。
   • 已知$f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)},&x > 0,y > 0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，计算$f_X(x)$：
     • 根据公式$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，因为当$y\leqslant0$时，$f(x,y) = 0$，所以$f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-(x + y)}dy$。
     • 对$\int_{0}^{+\infty}e^{-(x + y)}dy$进行计算，先将$e^{-(x + y)}$变形为$e^{-x}e^{-y}$，则$\int_{0}^{+\infty}e^{-(x + y)}dy=e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy$。
     • 由积分公式$\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy=-\left.e^{-y}\right|_{0}^{+\infty}=-(0 - 1)=1$，所以$f_X(x)=e^{-x}(x > 0)$。
   • 同理计算$f_Y(y)$：
     • 根据公式$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$，因为当$x\leqslant0$时，$f(x,y) = 0$，所以$f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}e^{-(x + y)}dx$。
     • 把$e^{-(x + y)}$变形为$e^{-x}e^{-y}$，则$\int_{0}^{+\infty}e^{-(x + y)}dx=e^{-y}\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$。
     • 由积分公式$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=-\left.e^{-x}\right|_{0}^{+\infty}=-(0 - 1)=1$，所以$f_Y(y)=e^{-y}(y > 0)$。
2. 计算期望：
   • 期望$E(X)$的计算公式为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx$，已知$f_X(x)=e^{-x}(x > 0)$，则$E(X)=\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx$。
   • 利用分部积分法$\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=-\left.xe^{-x}\right|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$。
     • 对于$-\left.xe^{-x}\right|_{0}^{+\infty}$，$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^{x}}$，根据洛必达法则，$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0$，当$x = 0$时，$0\times e^{-0}=0$，所以$-\left.xe^{-x}\right|_{0}^{+\infty}=0$。
     • 又因为$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=1$，所以$E(X)=1$。
   • 同理，$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy=\int_{0}^{+\infty}ye^{-y}dy = 1$。
3. 计算方差：
   • 先计算$E(X^2)$，根据公式$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f_X(x)dx$，已知$f_X(x)=e^{-x}(x > 0)$，则$E(X^2)=\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}dx$。
   • 利用分部积分法$\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-x}dx=-\left.x^{2}e^{-x}\right|_{0}^{+\infty}+2\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx$。
     • 对于$-\left.x^{2}e^{-x}\right|_{0}^{+\infty}$，$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^{2}e^{-x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}$，根据洛必达法则，$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{e^{x}} = 0$，当$x = 0$时，$0\times e^{-0}=0$，所以$-\left.x^{2}e^{-x}\right|_{0}^{+\infty}=0$。
     • 又因为$\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx = 1$，所以$E(X^2)=2$。
   • 根据方差公式$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，将$E(X^2)=2$，$E(X)=1$代入可得$\text{Var}(X)=2 - 1^2=1$。
   • 同理，$\text{Var}(Y)=1$。
4. 计算协方差：
   • 先计算$E(XY)$，根据公式$E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy$，已知$f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x + y)},&x > 0,y > 0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$E(XY)=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}xye^{-(x + y)}dxdy$。
   • 因为$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}xye^{-(x + y)}dxdy=\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx\int_{0}^{+\infty}ye^{-y}dy$，而$\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx = 1$，$\int_{0}^{+\infty}ye^{-y}dy = 1$，所以$E(XY)=1\times1 = 1$。
   • 根据协方差公式$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，将$E(XY)=1$，$E(X)=1$，$E(Y)=1$代入可得$\text{Cov}(X,Y)=1-1\times1 = 0$。
5. 计算相关系数：
   • 根据相关系数公式$\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}}$，将$\text{Cov}(X,Y)=0$，$\text{Var}(X)=1$，$\text{Var}(Y)=1$代入可得$\rho_{XY}=\frac{0}{\sqrt{1\times1}} = 0$。