题目

给出一阶齐次微分方程 (dy)/(dx)=(x^2+y^2)/(xy)，通过变量替换 u=(y)/(x)，将其转化为关于 u 和 x 的可分离变量方程，下列哪一项是正确的转化形式？A. x(du)/(dx)=(1)/(u)B. x(du)/(dx)-u=u^2C. x(du)/(dx)+u=-u^2D. (du)/(dx)+u=u^2

给出一阶齐次微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$，通过变量替换 $u=\frac{y}{x}$，将其转化为关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量方程，下列哪一项是正确的转化形式？

A. $x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}$

B. $x\frac{du}{dx}-u=u^2$

C. $x\frac{du}{dx}+u=-u^2$

D. $\frac{du}{dx}+u=u^2$

题目解答

答案

A. $x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}$

解析

本题考查一阶齐次微分方程通过变量替换转化为可分离变量方程的知识点。解题思路是先根据变量替换$u = \frac{y}{x}$得到$y$关于$x$和$u$的表达式，然后对其求导，再将原方程中的$y$和$\frac{dy}{dx}$用$u$和$\frac{du}{dx}$表示，最后化简得到可分离变量方程。

  1. 由$u=\frac{y}{x}$，可得$y = ux$。
  2. 对$y = ux$两边关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u$是关于$x$的函数，$v = x$，则有：
    • $\frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=u\frac{dx}{dx}+x\frac{du}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
  3. 原方程$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2 + y^2}{xy}$，将$y = ux$代入方程右边：
    • $\frac{x^2 + y^2}{xy}=\frac{x^2+(ux)^2}{x\cdot(ux)}=\frac{x^2 + u^2x^2}{ux^2}$。
    • 对$\frac{x^2 + u^2x^2}{ux^2}$进行化简，分子提取公因式$x^2$得$\frac{x^2(1 + u^2)}{ux^2}$，约去$x^2$，得到$\frac{1 + u^2}{u}$。
  4. 因为$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$且$\frac{dy}{dx}=\frac{1 + u^2}{u}$，所以$u + x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^2}{u}$。
    • 移项可得$x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^2}{u}-u$。
    • 通分计算$\frac{1 + u^2}{u}-u=\frac{1 + u^2 - u^2}{u}=\frac{1}{u}$。