微分方程 (dy)/(dx) + 2xy = e^-x^2 的通解是 y = ()。A. e^x(x+C)B. e^x^2(x+C)C. e^-x^2(x+C)D. e^-x(x+C)

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先判断方程类型，再利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式进行求解。

对于一阶线性非齐次微分方程的标准形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，其通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，其中$C$为任意常数。

下面我们来求解给定的微分方程$\frac{dy}{dx} + 2xy = e^{-x^2}$：

1. 确定$P(x)$和$Q(x)$：
   对比标准形式，可得$P(x)=2x$，$Q(x)=e^{-x^2}$。
2. 计算$e^{-\int P(x)dx}$：
   先计算$\int P(x)dx=\int 2xdx$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int 2xdx=2\times\frac{1}{2}x^2=x^2$。
   所以$e^{-\int P(x)dx}=e^{-x^2}$。
3. 计算$e^{\int P(x)dx}$：
   由前面计算可知$\int P(x)dx=x^2$，所以$e^{\int P(x)dx}=e^{x^2}$。
4. 计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
   将$Q(x)=e^{-x^2}$和$e^{\int P(x)dx}=e^{x^2}$代入可得：
   $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int e^{-x^2}\cdot e^{x^2}dx=\int 1dx$
   根据积分公式$\int 1dx=x+C_1$（这里$C_1$为常数，后续会与通解公式中的$C$合并），所以$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=x$。
5. 代入通解公式求通解：
   将$e^{-\int P(x)dx}=e^{-x^2}$和$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=x$代入通解公式$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，可得：
   $y = e^{-x^2}(x + C)$