4.在空间直角坐标系中，方程z=1-x^2-2y^2所表示的曲面是（）；A. 椭球面；B. 椭圆抛物面；C. 椭圆柱面；D. 单叶双曲面.

本题考查空间直角坐标系中常见二次曲面的方程形式，解题思路是将给定方程与各类二次曲面的标准方程进行对比，从而判断曲面类型。

各类二次曲面标准方程回顾

• 椭球面：标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$（$a,b,c\gt0$），方程中$x,y,z$都是二次项，且等式右边为$1$。
• 椭圆抛物面：标准方程为$z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$（$a,b\gt0$），方程中$x,y$是二次项，$z$是一次项。
• 椭圆柱面：标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a,b\gt0$），方程中缺少一个变量，且等式右边为$1$。
• 单叶双曲面：标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$（$a,b,c\gt0$），方程中$x,y,z$都是二次项，且等式右边为$1$，有一项系数为负。

对给定方程进行分析

已知方程$z = 1 - x^{2}-2y^{2}$，可变形为$z=-(x^{2}+2y^{2}) + 1$，进一步写成$z=-\left(x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{2}}\right)+1$。
此方程中$x,y$是二次项，$z$是一次项，符合椭圆抛物面的方程特征。