某车间有同类设备80台，由3人共同负责维修。若每台设备发生故障的概率都是0.01，并且各台设备工作是相互独立的。那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是（）A. 0.9909B. 0.0091C. 0.9825D. 0.0175

本题考查二项分布的概率计算。解题的关键思路是先确定设备发生故障的台数服从二项分布，然后找出有设备发生故障而不能及时维修的情况，即发生故障的设备台数大于维修人数，最后根据二项分布的概率公式计算相应概率。

设$X$表示$80$台设备中发生故障的台数，已知每台设备发生故障的概率$p = 0.01$，设备总数$n = 80$，且各台设备工作相互独立，所以$X\sim B(80,0.01)$。

二项分布的概率公式为$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。

有设备发生故障而不能及时维修，意味着发生故障的设备台数$X\gt3$，那么其对立事件为$X\leq3$，即$P(X\gt3)=1 - P(X\leq3)=1 - [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)]$。

• 计算$P(X = 0)$：
  将$n = 80$，$k = 0$，$p = 0.01$代入二项分布概率公式可得：
  $P(X = 0)=C_{80}^{0}\times0.01^{0}\times(1 - 0.01)^{80 - 0}$
  因为$C_{80}^{0}=\frac{80!}{0!(80 - 0)!}=1$，$0.01^{0}=1$，所以$P(X = 0)=1\times1\times0.99^{80}\approx0.4477$。

• 计算$P(X = 1)$：
  将$n = 80$，$k = 1$，$p = 0.01$代入二项分布概率公式可得：
  $P(X = 1)=C_{80}^{1}\times0.01^{1}\times(1 - 0.01)^{80 - 1}$
  $C_{80}^{1}=\frac{80!}{1!(80 - 1)!}=80$，所以$P(X = 1)=80\times0.01\times0.99^{79}\approx0.3593$。

• 计算$P(X = 2)$：
  将$n = 80$，$k = 2$，$p = 0.01$代入二项分布概率公式可得：
  $P(X = 2)=C_{80}^{2}\times0.01^{2}\times(1 - 0.01)^{80 - 2}$
  $C_{80}^{2}=\frac{80!}{2!(80 - 2)!}=\frac{80\times79}{2\times1}=3160$，所以$P(X = 2)=3160\times0.01^{2}\times0.99^{78}\approx0.1438$。

• 计算$P(X = 3)$：
  将$n = 80$，$k = 3$，$p = 0.01$代入二项分布概率公式可得：
  $P(X = 3)=C_{80}^{3}\times0.01^{3}\times(1 - 0.01)^{80 - 3}$
  $C_{80}^{3}=\frac{80!}{3!(80 - 3)!}=\frac{80\times79\times78}{3\times2\times1}=82160$，所以$P(X = 3)=82160\times0.01^{3}\times0.99^{77}\approx0.0391$。

则$P(X\leq3)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)\approx0.4477 + 0.3593 + 0.1438 + 0.0391 = 0.9909$。

所以$P(X\gt3)=1 - P(X\leq3)=1 - 0.9909 = 0.0091$。