3.根据数列极限的定义证明：lim_(ntoinfty)(3n+1)/(2n+1)=(3)/(2).

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义进行严格证明的能力，需要掌握极限定义的逻辑结构，以及如何通过代数变形找到合适的自然数$N$。

解题核心思路：

1. 计算差值：求通项与极限值的差的绝对值，即$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right|$。
2. 化简表达式：通过通分、化简，将差值转化为与$n$相关的表达式。
3. 解不等式：根据定义，令化简后的表达式小于任意给定的$\xi > 0$，解出$n$的范围。
4. 确定$N$：根据解出的$n$范围，选取适当的自然数$N$，完成证明。

破题关键点：

• 正确化简差值是基础，需注意分母的通分和分子的展开。
• 解不等式时，需注意不等号方向的变化及整数$N$的取法（通常用天花板函数$\lceil \cdot \rceil$）。

步骤1：计算差值的绝对值
首先计算$\frac{3n+1}{2n+1}$与$\frac{3}{2}$的差：
$\begin{aligned}\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| &= \left| \frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \right| \\&= \left| \frac{6n + 2 - 6n - 3}{2(2n+1)} \right| \\&= \left| \frac{-1}{4n + 2} \right| \\&= \frac{1}{4n + 2}.\end{aligned}$

步骤2：解不等式$\frac{1}{4n+2} < \xi$
根据数列极限的定义，需找到$N$使得当$n > N$时，$\frac{1}{4n+2} < \xi$。解不等式：
$\frac{1}{4n+2} < \xi \implies 4n + 2 > \frac{1}{\xi} \implies n > \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2}.$

步骤3：确定自然数$N$
取$N$为满足$N \geq \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2}$的最小整数，即：
$N = \left\lceil \frac{1}{4\xi} - \frac{1}{2} \right\rceil.$

步骤4：完成证明
当$n > N$时，$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| < \xi$，根据数列极限定义，原式得证。