设随机变量X的密度函数为f(x)=}kx,0le xA. 1/3B. 1/2C. 3/2D. 1

本题考查连续型随机变量概率密度函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$这一性质来求解参数$k$。

已知随机变量$X$的密度函数为$f(x)=\begin{cases}kx, & 0\le x<1\\k(2 - x), & 1\le x\le 2\\0, & 其他\end{cases}$，根据连续型随机变量概率密度函数的性质$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，则有：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{1}kx dx+\int_{1}^{2}k(2 - x)dx = 1$

1. 先计算$\int_{0}^{1}kx dx$：
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
   $\int_{0}^{1}kx dx=k\int_{0}^{1}x dx=k\times[\frac{1}{2}x^2]_0^1$
   将上限$1$和下限$0$代入$\frac{1}{2}x^2$可得：
   $k\times(\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}\times0^2)=\frac{1}{2}k$
2. 再计算$\int_{1}^{2}k(2 - x)dx$：
   先将被积函数展开$k(2 - x)=2k - kx$，则$\int_{1}^{2}k(2 - x)dx=\int_{1}^{2}(2k - kx)dx$。
   根据积分的可加性$\int_{a}^{b}(u(x)+v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx+\int_{a}^{b}v(x)dx$，可得：
   $\int_{1}^{2}(2k - kx)dx=\int_{1}^{2}2k dx-\int_{1}^{2}kx dx$
   • 计算$\int_{1}^{2}2k dx$：
     因为$2k$是常数，根据积分公式$\int_{a}^{b}Cdx = C(b - a)$（$C$为常数），可得$\int_{1}^{2}2k dx=2k\times(2 - 1)=2k$。
   • 计算$\int_{1}^{2}kx dx$：
     同理可得$\int_{1}^{2}kx dx=k\times[\frac{1}{2}x^2]_1^2=k\times(\frac{1}{2}\times2^2-\frac{1}{2}\times1^2)=\frac{3}{2}k$。
     所以$\int_{1}^{2}(2k - kx)dx=2k-\frac{3}{2}k=\frac{1}{2}k$。
3. 将上述两个积分结果代入$\int_{0}^{1}kx dx+\int_{1}^{2}k(2 - x)dx = 1$可得：
   $\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}k = 1$
   即$k = 1$。