20. (5.0分) 设长方体长为x、宽为y、高为z，求表面积为a²而体积为最大的长方体体积时，以下说法错误的是()A. 目标函数为V=xyzB. 当x=y=z=(sqrt(6))/(36)a时用料最省为(sqrt(6))/(1296)a^3C. 构造的拉格朗日函数为 L(x,y,z)=xyz+λ(xy+yz+zx-(a^2)/(2))D. 约束条件为xy+yz+zx=a²

本题考查利用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，解题思路是先明确目标函数和约束条件，构造拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点，进而得到体积最大时长方体的长、宽、高，最后判断各选项的正确性。

1. 分析目标函数和约束条件：
   • 已知要求长方体体积最大，长方体体积公式为$V = xyz$，所以目标函数为$V = xyz$，选项A正确。
   • 长方体表面积公式为$S = 2(xy + yz + zx)$，已知表面积为$a^2$，则$2(xy + yz + zx)=a^2$，即约束条件为$xy + yz + zx = \frac{a^2}{2}$，选项D错误。
2. 构造拉格朗日函数：
   根据拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数$L(x,y,z)=xyz+\lambda(xy + yz + zx - \frac{a^2}{2})$，选项C正确。
3. 求解拉格朗日函数的驻点：
   分别对$x$、$y$、$z$、$\lambda$求偏导数并令其为$0$：
   • $\frac{\partial L}{\partial x}=yz + \lambda(y + z)=0$ ①；
   • $\frac{\partial L}{\partial y}=xz + \lambda(x + z)=0$ ②；
   • $\frac{\partial L}{\partial z}=xy + \lambda(x + y)=0$ ③；
   • $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=xy + yz + zx - \frac{a^2}{2}=0$ ④。
     由①得$\lambda = -\frac{yz}{y + z}$，由②得$\lambda = -\frac{xz}{x + z}$，由③得$\lambda = -\frac{xy}{x + y}$，则$\frac{yz}{y + z}=\frac{xz}{x + z}=\frac{xy}{x + y}$。
     由$\frac{yz}{y + z}=\frac{xz}{x + z}$可得：
     $\begin{align*}yz(x + z)&=xz(y + z)\\xyz + yz^2&=xyz + xz^2\\yz^2&=xz^2\end{align*}$
     因为$z\neq0$（否则体积为$0$），所以$x = y$。
     同理可得$y = z$，即$x = y = z$。
     将$x = y = z$代入④得：$x^2 + x^2 + x^2 - \frac{a^2}{2}=0$，即$3x^2 = \frac{a^2}{2}$，解得$x = y = z = \frac{\sqrt{6}}{6}a$。
4. 计算最大体积：
   将$x = y = z = \frac{\sqrt{6}}{6}a$代入目标函数$V = xyz$得：
   $V = (\frac{\sqrt{6}}{6}a)^3 = \frac{\sqrt{6}}{36}a^3$
   所以选项B中$x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{36}a$以及体积$\frac{\sqrt{6}}{1296}a^{3}$错误。