题目
23、设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，若在(a,b)内f''(x)>0，证明对任意的xi_(1),xi_(2)in[a,b](xi_(1)<xi_(2))，都有(f(xi_(1))+f(xi_(2)))/(2)>(f(xi_(1)+xi_(2)))/(2).
23、设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，若在(a,b)内f''(x)>0，证明对任意的$\xi_{1},\xi_{2}\in[a,b](\xi_{1}<\xi_{2})$，都有$\frac{f(\xi_{1})+f(\xi_{2})}{2}>\frac{f(\xi_{1}+\xi_{2})}{2}$.
题目解答
答案
由题意，函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $ f''(x) > 0 $。这表明 $ f(x) $ 在 $(a, b)$ 内是严格凸的。根据凸函数的性质，对于任意 $ \xi_1, \xi_2 \in [a, b] $（$\xi_1 < \xi_2$），有
$f\left(\frac{\xi_1 + \xi_2}{2}\right) < \frac{f(\xi_1) + f(\xi_2)}{2}.$
将不等式两边同时乘以 2，得
$2f\left(\frac{\xi_1 + \xi_2}{2}\right) < f(\xi_1) + f(\xi_2).$
但题目要求证明的是
$\frac{f(\xi_1) + f(\xi_2)}{2} > \frac{f(\xi_1 + \xi_2)}{2}.$
显然，题目中的表述有误，应为
$\frac{f(\xi_1) + f(\xi_2)}{2} > f\left(\frac{\xi_1 + \xi_2}{2}\right).$
根据凸函数性质，该不等式成立。
结论：
题目中的不等式应为
$\boxed{\frac{f(\xi_1) + f(\xi_2)}{2} > f\left(\frac{\xi_1 + \xi_2}{2}\right)}.$
（注：原题表述有误，已按凸函数性质进行纠正。）
解析
本题考查函数的凹凸性以及凸函数的性质。解题的关键在于根据函数二阶导数大于零判断函数为严格凸函数，再利用凸函数的定义来证明不等式。
- 判断函数的凹凸性：
已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导，且$f''(x)>0$。根据函数凹凸性的判定定理：若函数$f(x)$在区间$I$上二阶可导，且$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是严格凸函数。所以$f(x)$在$(a,b)$内是严格凸的。 - 利用凸函数的性质证明不等式：
对于严格凸函数$f(x)$，根据凸函数的定义，对于任意的$\xi_{1},\xi_{2}\in[a,b](\xi_{1}<\xi_{2})$，有$f\left(\frac{\xi_{1}+\xi_{2}}{2}\right)<\frac{f(\xi_{1}) + f(\xi_{2})}{2}$。 - 分析题目所给不等式：
题目要求证明$\frac{f(\xi_{1})+f(\xi_{2})}{2}>\frac{f(\xi_{1}+\xi_{2})}{2}$，而我们根据凸函数性质得到的是$f\left(\frac{\xi_{1}+\xi_{2}}{2}\right)<\frac{f(\xi_{1}) + f(\xi_{2})}{2}$，所以题目中的不等式表述有误，正确的应该是$\frac{f(\xi_{1}) + f(\xi_{2})}{2}>f\left(\frac{\xi_{1}+\xi_{2}}{2}\right)$。