求指导本题解题过程，谢谢您！21、甲四-|||-以下展开式错误的是 () .-|||-A dfrac (1)({(1-x))^2}=sum _(n=1)^infty n(x)^n-1 |x|lt 1-|||-B ^(x^3)=sum _(n=0)^infty dfrac ({x)^3n}((3n)!)! |x|lt +infty -|||-C ln 2=1-dfrac (1)(2)+dfrac (1)(3)-dfrac (1)(4)+... -|||-D dfrac (1)(1+{x)^2}=sum _(n=0)^infty ((-1))^n(x)^2n |x|lt 1

本题主要考查常见函数的幂级数展开式，解题思路是根据已知的基本函数幂级数展开式，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

已知$\frac{1}{1 - x}$的幂级数展开式为$\frac{1}{1 - x}=\sum_{n = 0}^{\infty}x^n$，其收敛区间为$\vert x\vert\lt 1$。
对$\frac{1}{1 - x}$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及$(\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n)^\prime=\sum_{n = 1}^{\infty}na_nx^{n - 1}$可得：
$(\frac{1}{1 - x})^\prime=\frac{1}{(1 - x)^2}$
$(\sum_{n = 0}^{\infty}x^n)^\prime=\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}$
所以$\frac{1}{(1 - x)^2}=\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}$，收敛区间不变，仍为$\vert x\vert\lt 1$，该选项正确。

选项B

已知$e^x$的幂级数展开式为$e^x=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，其收敛区间为$\vert x\vert\lt +\infty$。
将$x$替换为$x^3$，可得$e^{x^3}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(x^3)^n}{n!}=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{n!}$，收敛区间为$\vert x^3\vert\lt +\infty$，即$\vert x\vert\lt +\infty$，而该选项中为$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}$，所以该选项错误。

选项C

已知$\ln(1 + x)$的幂级数展开式为$\ln(1 + x)=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n}$，其收敛区间为$-1\lt x\leqslant 1$。
当$x = 1$时，$\ln(1 + 1)=\ln2=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}\frac{1^n}{n}=1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$，该选项正确。

选项D

已知$\frac{1}{1 - t}$的幂级数展开式为$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^n$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$。
令$t = -x^2$，则$\frac{1}{1 + x^2}=\frac{1}{1 - (-x^2)}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-x^2)^n=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$，收敛区间为$\vert -x^2\vert\lt 1$，即$\vert x\vert\lt 1$，该选项正确。