5 中等题 求过点P(-5,1,8)且与直线L_(1):}x-y+3z+2=04x+y-2z+3=0都垂直的直线的方程.

本题考查空间直线的方向向量的求法以及直线方程的求解。解题的关键思路是先分别求出直线$L_1$和直线$L_2$的方向向量，然后通过计算这两个方向向量的叉积得到与它们都垂直的向量，此向量即为所求直线的方向向量，最后利用已知点$P$和该方向向量写出直线方程。

步骤1：确定直线$L_1$的方向向量

直线$L_1$由两个平面的交线给出：
$\begin{cases}x - y + 3z + 2 = 0 \\ 4x + y - 2z + 3 = 0 \end{cases}$
对于平面$Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为$\vec{n}=(A,B,C)$。
所以这两个平面的法向量分别是$\vec{n}_1 = (1, -1, 3)$和$\vec{n}_2 = (4, 1, -2)$。
直线$L_1$的方向向量$\vec{d}_1$是这两个法向量的叉积，根据向量叉积公式$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\vec{i}(a_2b_3 - a_3b_2)-\vec{j}(a_1b_3 - a_3b_1)+\vec{k}(a_1b_2 - a_2b_1)$，可得：
$\vec{d}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$=\vec{i}((-1)\times(-2) - 3\times1) - \vec{j}(1\times(-2) - 3\times4) + \vec{k}(1\times1 - (-1)\times4)$
$=\vec{i}(2 - 3) - \vec{j}(-2 - 12) + \vec{k}(1 + 4)$
$=-\vec{i} + 14\vec{j} + 5\vec{k} = (-1, 14, 5)$

步骤2：确定直线$L_2$的方向向量

直线$L_2$的参数方程为：
$\begin{cases}x = 5 - 2t \\ y = 4 - t \\ z = 3t + 5 \end{cases}$
对于直线的参数方程$\begin{cases}x = x_0 + m_1t \\ y = y_0 + m_2t \\ z = z_0 + m_3t \end{cases}$，其方向向量为$(m_1,m_2,m_3)$。
所以直线$L_2$的方向向量$\vec{d}_2$是$(-2, -1, 3)$。

步骤3：找到与$\vec{d}_1$和$\vec{d}_2$都垂直的向量

所求直线的方向向量$\vec{d}$是$\vec{d}_1$和$\vec{d}_2$的叉积，即：
$\vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 14 & 5 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$=\vec{i}(14\times3 - 5\times(-1)) - \vec{j}((-1)\times3 - 5\times(-2)) + \vec{k}((-1)\times(-1) - 14\times(-2))$
$=\vec{i}(42 + 5) - \vec{j}(-3 + 10) + \vec{k}(1 + 28)$
$= 47\vec{i} - 7\vec{j} + 29\vec{k} = (47, -7, 29)$

步骤4：写出直线的方程

过点$P(-5, 1, 8)$且方向向量为$(47, -7, 29)$的直线，根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得直线的对称式方程为：
$\frac{x + 5}{47} = \frac{y - 1}{-7} = \frac{z - 8}{29}$