113 设函数f(x)=}x|x|, &xleqslant0,xlnx, &x>0,则x=0是f(x)的（）.A. 可导点,极值点B. 不可导点,极值点C. 可导点,非极值点D. 不可导点,非极值点

本题考查分段函数在分段点处的可导性与极值点的判断。解题思路是先分别计算函数在$x = 0$处的左导数和右导数，根据左右导数是否相等判断函数在该点是否可导；再通过分析函数在$x = 0$两侧的单调性来判断该点是否为极值点。

1. 判断函数在$x = 0$处的可导性

• 计算左导数$f_{-}'(0)$：
  根据左导数的定义$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$。
  已知当$x\leqslant0$时，$f(x)=x|x|$，因为$x\leqslant0$，所以$|x|=-x$，则$f(x)=x\cdot(-x)=-x^{2}$，且$f(0)=0$。
  将$f(x)=-x^{2}$和$f(0)=0$代入左导数定义式可得：
  $f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{-x^{2}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^{-}}(-x)=0$
• 计算右导数$f_{+}'(0)$：
  根据右导数的定义$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$。
  已知当$x\gt0$时，$f(x)=x\ln x$，且$f(0)=0$。
  将$f(x)=x\ln x$和$f(0)=0$代入右导数定义式可得：
  $f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x\ln x - 0}{x}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty$
  由于$f_{-}'(0)=0$，$f_{+}'(0)=-\infty$，左右导数不相等，所以函数$f(x)$在$x = 0$处不可导。

2. 判断函数在$x = 0$处是否为极值点

• 分析$x\lt0$时函数的单调性：
  当$x\lt0$时，$f(x)=-x^{2}$，对$f(x)$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$f^\prime(x)=(-x^{2})^\prime=-2x$。
  因为$x\lt0$，所以$-2x\gt0$，即$f^\prime(x)\gt0$，这说明函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增。
• 分析$x\gt0$时函数的单调性：
  当$x\gt0$时，$f(x)=x\ln x$，对$f(x)$求导，根据乘积求导公式$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v = \ln x$，可得$f^\prime(x)=(x\ln x)^\prime=\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1$。
  令$f^\prime(x)=0$，即$\ln x + 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{e}$。
  当$0\lt x\lt\frac{1}{e}$时，$\ln x\lt -1$，所以$f^\prime(x)=\ln x + 1\lt0$，这说明函数$f(x)$在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减。
  因为函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减，所以$x = 0$是函数$f(x)$的一个极大值点。

综上，$x = 0$是$f(x)$的不可导点，极值点。