5.已知f(x)二阶可导，且f(x)≠0，varphi(x)=lim_(tto0)((f(x+t))/(f(x)))^(1)/(sin t)，则varphi^prime(x)=__

本题主要考查了函数极限、对数求导法、链式法则以及商法则的综合运用。解题的关键思路是先通过对数求导法将复杂的指数形式极限转化为便于计算的形式，求出$\varphi(x)$的表达式，再对其求导。

1. 求$\ln\varphi(x)$的值：
   已知$\varphi(x)=\lim_{t\to0}\left(\frac{f(x+t)}{f(x)}\right)^{\frac{1}{\sin t}}$，两边取自然对数可得$\ln\varphi(x)=\lim_{t\to0}\frac{\ln\left(\frac{f(x+t)}{f(x)}\right)}{\sin t}$。
   根据对数运算法则$\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b$，进一步化简为$\ln\varphi(x)=\lim_{t\to0}\frac{\ln(f(x+t)) - \ln(f(x))}{\sin t}$。
   当$t\to0$时，$\sin t\sim t$（等价无穷小替换），则$\ln\varphi(x)=\lim_{t\to0}\frac{\ln(f(x+t)) - \ln(f(x))}{t}$。
   由导数的定义可知，函数$y = \ln(f(x))$在$x$处的导数为$y^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，所以$\ln\varphi(x)=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$。
2. 求出$\varphi(x)$的表达式：
   因为$\ln\varphi(x)=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，根据对数函数与指数函数的关系$y = \ln x$与$x = e^y$互为反函数，可得$\varphi(x)=e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}}$。
3. 对$\varphi(x)$求导：
   令$u = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，则$\varphi(x)=e^u$。
   根据链式法则$\frac{d\varphi(x)}{dx}=\frac{d\varphi(u)}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，先对$e^u$关于$u$求导，$\frac{d(e^u)}{du}=e^u$。
   再对$u = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}$关于$x$求导，根据商法则$(\frac{v}{w})^\prime=\frac{v^\prime w - vw^\prime}{w^2}$（其中$v = f^\prime(x)$，$w = f(x)$），可得$\frac{du}{dx}=\frac{f^{\prime\prime}(x)f(x) - (f^\prime(x))^2}{(f(x))^2}$。
   所以$\varphi^\prime(x)=e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}}\cdot\frac{f^{\prime\prime}(x)f(x) - (f^\prime(x))^2}{(f(x))^2}$，又因为$\varphi(x)=e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}}$，则$\varphi^\prime(x)=\varphi(x)\cdot\frac{f^{\prime\prime}(x)f(x) - (f^\prime(x))^2}{(f(x))^2}$。