题目

3.求抛物线 =-(x)^2+4x-3 及其在点 (0,-3) 和(3,0)处的切线所围成的图形的(-|||-面积.

题目解答

答案

解析

本题考查定积分在几何学上的应用，解题思路是先求出抛物线在给定两点处的切线方程，再找出两条切线的交点，最后根据定积分的几何意义，通过计算定积分来求解所围成图形的面积。

求抛物线的导数：
已知抛物线方程$y = -x^2 + 4x - 3$，对其求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
$y^\prime = (-x^2 + 4x - 3)^\prime=-2x + 4$
求抛物线在点$(0, -3)$和$(3, 0)$处的切线斜率：
- 当$x = 0$时，$y^\prime|_{x = 0}=-2\times0 + 4 = 4$，即抛物线在点$(0, -3)$处的切线斜率为$4$。
- 当$x = 3$时，$y^\prime|_{x = 3}=-2\times3 + 4 = -2$，即抛物线在点$(3, 0)$处的切线斜率为$-2$。
求抛物线在点$(0, -3)$和$(3, 0)$处的切线方程：
- 过点$(x_0,y_0)$斜率为$k$的直线方程为$y - y_0 = k(x - x_0)$，那么抛物线在点$(0, -3)$处的切线方程为$y - (-3) = 4(x - 0)$，即$y = 4x - 3$。
- 抛物线在点$(3, 0)$处的切线方程为$y - 0 = -2(x - 3)$，即$y = -2x + 6$。
求两条切线的交点：
联立两条切线方程$\begin{cases}y = 4x - 3\\y = -2x + 6\end{cases}$，可得$4x - 3 = -2x + 6$，移项可得$4x + 2x = 6 + 3$，即$6x = 9$，解得$x = \frac{3}{2}$。
将$x = \frac{3}{2}$代入$y = 4x - 3$可得$y = 4\times\frac{3}{2} - 3 = 3$，所以交点坐标为$(\frac{3}{2}, 3)$。
求所围成图形的面积：
根据定积分的几何意义，所求面积$A$为两条切线与抛物线所围成的面积，可将其分为两部分计算：
- 在区间$[0, \frac{3}{2}]$上，切线$y = 4x - 3$在抛物线$y = -x^2 + 4x - 3$的上方，所以这部分面积为$\int_{0}^{\frac{3}{2}}[(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)]dx=\int_{0}^{\frac{3}{2}}x^2dx$。
  根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{\frac{3}{2}}x^2dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\times(\frac{3}{2})^3 - \frac{1}{3}\times0^3=\frac{9}{8}$。
- 在区间$[\frac{3}{2}, 3]$上，切线$y = -2x + 6$在抛物线$y = -x^2 + 4x - 3$的上方，所以这部分面积为$\int_{\frac{3}{2}}^{3}[(-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3)]dx=\int_{\frac{3}{2}}^{3}(x^2 - 6x + 9)dx$。
  对$\int_{\frac{3}{2}}^{3}(x^2 - 6x + 9)dx$进行计算：
  $\int_{\frac{3}{2}}^{3}(x^2 - 6x + 9)dx = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x]_{\frac{3}{2}}^{3}$
  $=(\frac{1}{3}\times3^3 - 3\times3^2 + 9\times3)-(\frac{1}{3}\times(\frac{3}{2})^3 - 3\times(\frac{3}{2})^2 + 9\times\frac{3}{2})$
  $=(9 - 27 + 27)-(\frac{9}{8} - \frac{27}{4} + \frac{27}{2})$
  $=9 - (\frac{9}{8} - \frac{54}{8} + \frac{108}{8})$
  $=9 - \frac{63}{8}=\frac{9}{8}$。
  则所求面积$A = \frac{9}{8} + \frac{9}{8}=\frac{9}{4}$。