题目
函数 u=x^2+2y+3z^3 在点 (1,-1,1) 处沿方向角 alpha=(pi)/(4), beta=(pi)/(3), gamma=(pi)/(3) 的方向的方向导数是()A. (11)/(2)+sqrt(2)B. (11)/(2)sqrt(3)+sqrt(2)C. (sqrt(2))/(2)D. (sqrt(3))/(2)
函数 $u=x^{2}+2y+3z^{3}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿方向角 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, $\beta=\frac{\pi}{3}$, $\gamma=\frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数是()
A. $\frac{11}{2}+\sqrt{2}$
B. $\frac{11}{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
题目解答
答案
A. $\frac{11}{2}+\sqrt{2}$
解析
步骤 1：计算偏导数
计算函数 $u = x^2 + 2y + 3z^3$ 的偏导数：\[ u_x' = 2x, \quad u_y' = 2, \quad u_z' = 9z^2 \]
步骤 2：求偏导数在点 $(1, -1, 1)$ 处的值
在点 $(1, -1, 1)$ 处求值：\[ u_x' = 2, \quad u_y' = 2, \quad u_z' = 9 \]
步骤 3：计算方向余弦
方向余弦为：\[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \beta = \frac{1}{2}, \quad \cos \gamma = \frac{1}{2} \]
步骤 4：计算方向导数
方向导数为：\[ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} + 1 + \frac{9}{2} = \sqrt{2} + \frac{11}{2} \]
计算函数 $u = x^2 + 2y + 3z^3$ 的偏导数：\[ u_x' = 2x, \quad u_y' = 2, \quad u_z' = 9z^2 \]
步骤 2：求偏导数在点 $(1, -1, 1)$ 处的值
在点 $(1, -1, 1)$ 处求值：\[ u_x' = 2, \quad u_y' = 2, \quad u_z' = 9 \]
步骤 3：计算方向余弦
方向余弦为：\[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \beta = \frac{1}{2}, \quad \cos \gamma = \frac{1}{2} \]
步骤 4：计算方向导数
方向导数为：\[ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} + 1 + \frac{9}{2} = \sqrt{2} + \frac{11}{2} \]