2.求(x-2y)dy=2ydx的通解.

本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程变形为一阶线性微分方程的标准形式，然后求出积分因子，再利用积分因子将方程化为全微分方程进行积分求解，最后得到通解。

步骤一：将原方程变形为一阶线性微分方程的标准形式

已知原方程$(x - 2y)dy = 2ydx$，等式两边同时除以$2ydy$（$y\neq0$），可得$\frac{dx}{dy}=\frac{x - 2y}{2y}$，进一步化简为$\frac{dx}{dy}-\frac{1}{2y}x=-1$，此为一阶线性微分方程$\frac{dx}{dy}+P(y)x = Q(y)$的形式，其中$P(y)=-\frac{1}{2y}$，$Q(y)= - 1$。

步骤二：求积分因子$\mu(y)$

根据积分因子公式$\mu(y)=e^{\int P(y)dy}$，计算$\int P(y)dy$：
$\int P(y)dy=\int-\frac{1}{2y}dy=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy=-\frac{1}{2}\ln|y|=\ln y^{-\frac{1}{2}}$
所以积分因子$\mu(y)=e^{\ln y^{-\frac{1}{2}}}=y^{-\frac{1}{2}}$。

步骤三：将方程两边同乘以积分因子并积分

将$\frac{dx}{dy}-\frac{1}{2y}x=-1$两边同时乘以$y^{-\frac{1}{2}}$，得到：
$y^{-\frac{1}{2}}\frac{dx}{dy}-\frac{1}{2}y^{-\frac{3}{2}}x=-y^{-\frac{1}{2}}$
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，上式左边可化为$\frac{d}{dy}(xy^{-\frac{1}{2}})$，则方程变为$\frac{d}{dy}(xy^{-\frac{1}{2}})=-y^{-\frac{1}{2}}$。
两边同时积分：
$\int\frac{d}{dy}(xy^{-\frac{1}{2}})dy=\int -y^{-\frac{1}{2}}dy$
根据积分的基本公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得：
$xy^{-\frac{1}{2}}=-\frac{y^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=-\frac{y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=-2y^{\frac{1}{2}}+C$

步骤四：求解通解

将$xy^{-\frac{1}{2}}=-2y^{\frac{1}{2}}+C$两边同时乘以$\sqrt{y}$，得到$x = C\sqrt{y}-2y$。
对$x = C\sqrt{y}-2y$进行变形：
$x + 2y = C\sqrt{y}$
两边同时平方可得$(x + 2y)^2 = Cy$，其中$C$为任意常数。