题目

3.设A，B为两事件，已知P(A)=(1)/(3)，P(A|B)=(2)/(3)，P(B|overline(A))=(1)/(10)，求P(B).

3.设A，B为两事件，已知$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{2}{3}$，$P(B|\overline{A})=\frac{1}{10}$，求P(B).

题目解答

答案

由条件概率公式，有： 1. $ P(AB) = P(A|B)P(B) = \frac{2}{3}P(B) $ 2. $ P(B\overline{A}) = P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{1}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{15} $ 利用全概率公式： \[ P(B) = P(AB) + P(B\overline{A}) = \frac{2}{3}P(B) + \frac{1}{15} \] 解得： \[ \frac{1}{3}P(B) = \frac{1}{15} \implies P(B) = \frac{1}{5} \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{5}}$

解析

本题考查条件概率公式和全概率公式的应用。解题的关键思路是先根据条件概率公式分别表示出$P(AB)$和$P(B\overline{A})$，再利用全概率公式建立关于$P(B)$的方程，最后求解该方程得到$P(B)$的值。

  1. 根据条件概率公式求$P(AB)$：
    条件概率公式为$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，已知$P(A|B)=\frac{2}{3}$，将其代入公式可得：
    $P(AB)=P(A|B)P(B)=\frac{2}{3}P(B)$
  2. 根据条件概率公式求$P(B\overline{A})$：
    首先，因为$P(A)=\frac{1}{3}$，根据对立事件概率之和为$1$，可得$P(\overline{A}) = 1 - P(A)=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
    条件概率公式为$P(B|\overline{A})=\frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，已知$P(B|\overline{A})=\frac{1}{10}$，$P(\overline{A})=\frac{2}{3}$，将其代入公式可得：
    $P(B\overline{A}) = P(B|\overline{A})P(\overline{A})=\frac{1}{10} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{15}$
  3. 利用全概率公式建立方程并求解$P(B)$：
    全概率公式为$P(B)=P(AB)+P(B\overline{A})$，将$P(AB)=\frac{2}{3}P(B)$和$P(B\overline{A})=\frac{1}{15}$代入全概率公式可得：
    $P(B)=\frac{2}{3}P(B) + \frac{1}{15}$
    移项可得：
    $P(B)-\frac{2}{3}P(B)=\frac{1}{15}$
    合并同类项可得：
    $\frac{1}{3}P(B)=\frac{1}{15}$
    两边同时乘以$3$，解得：
    $P(B)=\frac{1}{5}$