设总体X具有分布律-|||-x 1 2 3-|||-pi θ^2 (1-9) ((1-{theta ))^2-|||-其中 theta (0lt 0lt 1) 为未知参数.已知取得了样本值 _(1)=1, _(2)=2, _(3)=1, 试求θ-|||-的最大似然估计值.

本题考查最大似然估计的知识。解题思路是先根据总体的分布律和给定的样本值写出似然函数，然后对似然函数取对数，再对对数似然函数求导并令导数为零，最后解出参数的最大似然估计值。

1. 写出似然函数：
   已知总体$X$的分布律，样本值为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 1$。根据似然函数的定义，似然函数$L(\theta)$是样本取值的联合概率，即$L(\theta)=P(X_1 = 1,X_2 = 2,X_3 = 1)$。
   因为样本是相互独立的，所以$L(\theta)=P(X_1 = 1)P(X_2 = 2)P(X_3 = 1)$。
   由总体分布律可知$P(X = 1)=\theta^2$，$P(X = 2)=2\theta(1 - \theta)$，则$L(\theta)=\theta^2\cdot 2\theta(1 - \theta)\cdot\theta^2 = 2\theta^5(1 - \theta)$。
2. 对似然函数取对数：
   为了方便计算，对似然函数$L(\theta)$取自然对数，得到$\ln L(\theta)=\ln(2\theta^5(1 - \theta))$。
   根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得$\ln L(\theta)=\ln 2 + \ln\theta^5 + \ln(1 - \theta)$。
   再根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，进一步化简为$\ln L(\theta)=\ln 2 + 5\ln\theta + \ln(1 - \theta)$。
3. 求导并令导数为零：
   对$\ln L(\theta)$关于$\theta$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac{5}{\theta}-\frac{1}{1 - \theta}$。
   令$\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0$，即$\frac{5}{\theta}-\frac{1}{1 - \theta}=0$。
4. 解方程求出最大似然估计值：
   对$\frac{5}{\theta}-\frac{1}{1 - \theta}=0$进行求解，通分得到$\frac{5(1 - \theta) - \theta}{\theta(1 - \theta)} = 0$。
   因为分母不能为零，所以只需分子$5(1 - \theta) - \theta = 0$，展开得$5 - 5\theta - \theta = 0$，即$5 - 6\theta = 0$。
   移项可得$6\theta = 5$，解得$\theta=\frac{5}{6}$，所以$\theta$的最大似然估计值$\hat{\theta}=\frac{5}{6}$。