题目
8、设(x,y,z)=(x)^2+2(y)^2+3(z)^2+xy+3x-2y-6z，求grad f(0,0,0)及grad f(1,1,1).
8、设
，求grad f(0,0,0)及grad f(1,1,1).
题目解答
答案
由题可得：
则有：
grad f(x,y,z)=
所以有：
grad f(0,0,0)=
grad f(1,1,1)=
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数$f(x,y,z)={x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}+xy+3x-2y-6z$的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
- 对于$x$的偏导数${f}_{x}'$，我们对$x$求导，将$y$和$z$视为常数。
- 对于$y$的偏导数${f}_{y}'$，我们对$y$求导，将$x$和$z$视为常数。
- 对于$z$的偏导数${f}_{z}'$，我们对$z$求导，将$x$和$y$视为常数。
步骤 2：计算grad f(x,y,z)
函数$f(x,y,z)$的梯度grad f(x,y,z)是其偏导数的向量，即grad f(x,y,z)=$(f_{x}',f_{y}',f_{z}')$。梯度向量指向函数值增加最快的方向，其大小表示函数值增加的速率。
步骤 3：计算grad f(0,0,0)和grad f(1,1,1)
将点(0,0,0)和(1,1,1)分别代入grad f(x,y,z)中，计算出grad f(0,0,0)和grad f(1,1,1)的值。
首先，我们需要计算函数$f(x,y,z)={x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}+xy+3x-2y-6z$的偏导数。偏导数是函数在某一点处沿坐标轴方向的变化率。
- 对于$x$的偏导数${f}_{x}'$，我们对$x$求导，将$y$和$z$视为常数。
- 对于$y$的偏导数${f}_{y}'$，我们对$y$求导，将$x$和$z$视为常数。
- 对于$z$的偏导数${f}_{z}'$，我们对$z$求导，将$x$和$y$视为常数。
步骤 2：计算grad f(x,y,z)
函数$f(x,y,z)$的梯度grad f(x,y,z)是其偏导数的向量，即grad f(x,y,z)=$(f_{x}',f_{y}',f_{z}')$。梯度向量指向函数值增加最快的方向，其大小表示函数值增加的速率。
步骤 3：计算grad f(0,0,0)和grad f(1,1,1)
将点(0,0,0)和(1,1,1)分别代入grad f(x,y,z)中，计算出grad f(0,0,0)和grad f(1,1,1)的值。