11.已知函数f(x)对一切的x满足xf''(x)+[f'(x)]²=x²，则（）A. f(0)是f(x)的极大值.B. f(0)是f(x)的极小值.C. 点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点.D. f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.

本题考查函数极值与拐点的判定，解题的关键在于根据已知条件求出函数的一阶导数和二阶导数在特殊点的值，再利用极值和拐点的判定定理进行判断。

1. 求$f(0)$和$f^\prime(0)$的值：
   已知函数$f(x)$对一切的$x$满足$xf^{\prime\prime}(x)+[f^\prime(x)]^2 = x^2$。
   令$x = 0$，代入到方程$xf^{\prime\prime}(x)+[f^\prime(x)]^2 = x^2$中，可得：
   $0\times f^{\prime\prime}(0)+[f^\prime(0)]^2 = 0^2$，即$[f^\prime(0)]^2 = 0$，解得$f^\prime(0) = 0$。
   仅根据已知条件无法直接求出$f(0)$的值，但不影响后续对极值和拐点的判断。
2. 求$f^{\prime\prime}(0)$的值：
   对$xf^{\prime\prime}(x)+[f^\prime(x)]^2 = x^2$两边同时对$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$以及复合函数求导法则$(u^2)^\prime = 2u\cdot u^\prime$可得：
   $(xf^{\prime\prime}(x))^\prime + ([f^\prime(x)]^2)^\prime = (x^2)^\prime$
   $f^{\prime\prime}(x)+xf^{\prime\prime\prime}(x)+2f^\prime(x)f^{\prime\prime}(x) = 2x$
   令$x = 0$，代入上式可得：
   $f^{\prime\prime}(0)+0\times f^{\prime\prime\prime}(0)+2f^\prime(0)f^{\prime\prime}(0) = 2\times 0$
   因为$f^\prime(0) = 0$，所以$f^{\prime\prime}(0) = 0$。
3. 求$f^{\prime\prime\prime}(0)$的值：
   将$x = 0$代入到$xf^{\prime\prime}(x)+[f^\prime(x)]^2 = x^2$中，得到$f^{\prime\prime}(0) = 0$。
   对$f^{\prime\prime}(x)+xf^{\prime\prime\prime}(x)+2f^\prime(x)f^{\prime\prime}(x) = 2x$两边同时对$x$求导：
   $(f^{\prime\prime}(x))^\prime + (xf^{\prime\prime\prime}(x))^\prime + (2f^\prime(x)f^{\prime\prime}(x))^\prime = (2x)^\prime$
   $f^{\prime\prime\prime}(x)+f^{\prime\prime\prime}(x)+xf^{\prime\prime\prime\prime}(x)+2[f^{\prime\prime}(x)]^2 + 2f^\prime(x)f^{\prime\prime\prime}(x) = 2$
   令$x = 0$，代入上式可得：
   $f^{\prime\prime\prime}(0)+f^{\prime\prime\prime}(0)+0\times f^{\prime\prime\prime\prime}(0)+2[f^{\prime\prime}(0)]^2 + 2f^\prime(0)f^{\prime\prime\prime}(0) = 2$
   因为$f^\prime(0) = 0$，$f^{\prime\prime}(0) = 0$，所以$2f^{\prime\prime\prime}(0) = 2$，解得$f^{\prime\prime\prime}(0) = 1\neq 0$。
4. 判断极值和拐点：
   根据极值的第二判定定理，若$f^\prime(x_0) = 0$，$f^{\prime\prime}(x_0) \neq 0$，当$f^{\prime\prime}(x_0) \lt 0$时，$f(x_0)$为极大值；当$f^{\prime\prime}(x_0) \gt 0$时，$f(x_0)$为极小值。
   由于$f^{\prime\prime}(0) = 0$，所以无法用极值的第二判定定理判断$f(0)$是否为极值。
   根据拐点的判定定理，若函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$，且三阶导数$f^{\prime\prime\prime}(x_0) \neq 0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y = f(x)$的拐点。
   因为$f^{\prime\prime}(0) = 0$，$f^{\prime\prime\prime}(0) = 1\neq 0$，所以点$(0,f(0))$是曲线$y = f(x)$的拐点。