题目

求由曲线 √x/a+√y/b=1(a、b>0) 与坐标轴所围图形的面积.

题目解答

答案

解析

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题思路如下：

  1. 首先，需要确定曲线与坐标轴的交点，从而明确积分的上下限。
  2. 然后，将曲线方程变形为$y$关于$x$的表达式，这样就可以得到被积函数。
  3. 最后，根据定积分的几何意义，利用定积分公式计算所围图形的面积。

详细解答过程

  • 步骤一：求曲线与坐标轴的交点
    已知曲线方程$\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}} = 1$，$(a,b\gt0)$。
    令$y = 0$，则$\sqrt{\dfrac{x}{a}}=1$，两边同时平方可得$\dfrac{x}{a}=1$，解得$x = a$，所以曲线与$x$轴的交点为$(a,0)$。
    令$x = 0$，则$\sqrt{\dfrac{y}{b}}=1$，两边同时平方可得$\dfrac{y}{b}=1$，解得$y = b$，所以曲线与$y$轴的交点为$(0,b)$。
    因此，积分区间为$[0,a]$。
  • 步骤二：将曲线方程变形为$y$关于$x$的表达式
    由$\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}} = 1$，移项可得$\sqrt{\dfrac{y}{b}}=1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}}$，两边同时平方可得$\dfrac{y}{b}=(1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}})^2$，进一步变形得到$y = b(1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}})^2$。
  • 步骤三：计算定积分求面积
    根据定积分的几何意义，由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积$A=\int_{a}^{b}f(x)dx$。
    所以，所求图形的面积$A = \int_{0}^{a}b(1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}})^2dx$。
    对$(1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}})^2$进行展开：
    $\begin{align*}(1 - \sqrt{\dfrac{x}{a}})^2&=1^2 - 2\times1\times\sqrt{\dfrac{x}{a}} + (\sqrt{\dfrac{x}{a}})^2\\&=1 - 2\sqrt{\dfrac{x}{a}} + \dfrac{x}{a}\end{align*}$
    则$A = b\int_{0}^{a}(1 - 2\sqrt{\dfrac{x}{a}} + \dfrac{x}{a})dx$。
    根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
    $\begin{align*}A&=b\left(\int_{0}^{a}1dx - 2\int_{0}^{a}\sqrt{\dfrac{x}{a}}dx + \int_{0}^{a}\dfrac{x}{a}dx\right)\\&=b\left(x\big|_{0}^{a} - 2\int_{0}^{a}\dfrac{1}{\sqrt{a}}x^{\frac{1}{2}}dx + \dfrac{1}{a}\int_{0}^{a}xdx\right)\end{align*}$
    分别计算各项定积分：
    • $\int_{0}^{a}1dx = x\big|_{0}^{a}=a - 0 = a$。
    • 对于$\int_{0}^{a}\dfrac{1}{\sqrt{a}}x^{\frac{1}{2}}dx$，根据定积分公式$\int x^n dx=\dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{a}\dfrac{1}{\sqrt{a}}x^{\frac{1}{2}}dx=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\times\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\big|_{0}^{a}=\dfrac{2}{3\sqrt{a}}a^{\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}a$。
    • $\int_{0}^{a}\dfrac{1}{a}xdx=\dfrac{1}{a}\times\dfrac{1}{2}x^2\big|_{0}^{a}=\dfrac{1}{2a}a^2=\dfrac{1}{2}a$。
      将上述结果代入$A$的表达式可得：
      $\begin{align*}A&=b\left(a - 2\times\dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{2}a\right)\\&=b\left(a - \dfrac{4}{3}a + \dfrac{1}{2}a\right)\\&=b\left(\dfrac{6}{6}a - \dfrac{8}{6}a + \dfrac{3}{6}a\right)\\&=b\times\dfrac{1}{6}a\\&=\dfrac{1}{6}ab\end{align*}$