4.设u(x,y)=f(e^x)·g(sin y)，其中f(x),g(x)均有连续导数，则(partial^2u)/(partial xpartial y)=（）.A. e^xsin yf'(e^x)g'(sin y)B. ue^xcos yf'(e^x)g'(sin y)C. e^xcos yf'(e^x)g'(sin y)D. ue^xsin yf'(e^x)g'(sin y)

本题考查复合函数的二阶混合偏导数的计算。解题思路是先对函数$u(x,y)$关于$x$求偏导数，再将所得结果关于$y$求偏导数。

步骤一：求$\frac{\partial u}{\partial x}$

已知$u(x,y)=f(e^{x})\cdot g(\sin y)$，在对$x$求偏导数时，把$y$看作常数。
根据复合函数求导法则，若$F = f(G(x))$，则$F^\prime=f^\prime(G(x))\cdot G^\prime(x)$。
对于$f(e^{x})$，令$t = e^{x}$，则$\frac{\partial f(e^{x})}{\partial x}=f^\prime(e^{x})\cdot\frac{\partial e^{x}}{\partial x}$，因为$\frac{\partial e^{x}}{\partial x}=e^{x}$，所以$\frac{\partial f(e^{x})}{\partial x}=e^{x}f^\prime(e^{x})$。
而$g(\sin y)$关于$x$的偏导数为$0$（因为$y$看作常数），根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = f(e^{x})$，$v = g(\sin y)$，可得：
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}[f(e^{x})\cdot g(\sin y)]=g(\sin y)\cdot\frac{\partial f(e^{x})}{\partial x}=e^{x}f^\prime(e^{x})g(\sin y)$

步骤二：求$\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}$

即对$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}f^\prime(e^{x})g(\sin y)$关于$y$求偏导数，此时把$x$看作常数。
$e^{x}f^\prime(e^{x})$关于$y$的偏导数为$0$（因为$x$看作常数），对于$g(\sin y)$，令$s = \sin y$，则$\frac{\partial g(\sin y)}{\partial y}=g^\prime(\sin y)\cdot\frac{\partial \sin y}{\partial y}$，因为$\frac{\partial \sin y}{\partial y}=\cos y$，所以$\frac{\partial g(\sin y)}{\partial y}=\cos y g^\prime(\sin y)$。
再根据乘积的求导法则，可得：
$\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}[e^{x}f^\prime(e^{x})g(\sin y)]=e^{x}f^\prime(e^{x})\cdot\frac{\partial g(\sin y)}{\partial y}=e^{x}\cos yf^\prime(e^{x})g^\prime(\sin y)$