有一圆柱体,受压后发生变形,它的半径由20(cm)增大到20.05(cm),高由100(cm)减少到99(cm),则此圆柱体体积变化的近似值是()A. 圆柱体体积增加了100pi(cm)^3B. 圆柱体体积减少了200pi(cm)^3C. 圆柱体体积减少了100pi(cm)^3D. 圆柱体体积增加了200pi(cm)^3

本题考查利用全微分来近似计算函数的改变量，解题思路是先写出圆柱体体积的函数表达式，再求出该函数的全微分公式，最后将半径和高的变化量代入全微分公式计算出体积变化的近似值。

1. 首先明确圆柱体体积公式：
   • 设圆柱体的半径为$r$，高为$h$，则圆柱体体积$V = \pi r^{2}h$。
2. 然后求$V$关于$r$和$h$的偏导数：
   • 对$V$关于$r$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi rh$。
   • 对$V$关于$h$求偏导数，可得$\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}$。
3. 接着根据全微分公式$dV=\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac{\partial V}{\partial h}dh$计算体积的近似变化量：
   • 已知半径由$r = 20\text{cm}$增大到$r+\Delta r=20.05\text{cm}$，则$\Delta r=dr = 20.05 - 20=0.05\text{cm}$。
   • 高由$h = 100\text{cm}$减少到$h+\Delta h = 99\text{cm}$，则$\Delta h=dh=99 - 100=-1\text{cm}$。
   • 将$r = 20$，$h = 100$，$dr = 0.05$，$dh=-1$代入全微分公式$dV=\frac{\partial V}{\partial r}dr+\frac{\partial V}{\partial h}dh$中。
   • 先计算$\frac{\partial V}{\partial r}\big|_{r = 20,h = 100}=2\pi\times20\times100 = 4000\pi$，$\frac{\partial V}{\partial h}\big|_{r = 20,h = 100}=\pi\times20^{2}=400\pi$。
   • 再计算$dV=4000\pi\times0.05+400\pi\times(-1)$。
   • 先算乘法：$4000\pi\times0.05 = 200\pi$，$400\pi\times(-1)=-400\pi$。
   • 再算加法：$dV=200\pi-400\pi=-200\pi\text{cm}^3$。
   • 因为$dV\lt0$，所以圆柱体体积减少了$200\pi\text{cm}^3$。