题目
1.必答[简答题]int(7)/((7x-1)^3)dx
1.必答[简答题]
$\int\frac{7}{(7x-1)^{3}}dx$
题目解答
答案
### 问题解析
题目要求计算积分 $\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx$。
1. **选择合适的代换**：
- 观察积分中的分母 $(7x-1)^3$，可以考虑使用代换 $u = 7x - 1$，这样可以简化积分的形式。
2. **进行代换**：
- 设 $u = 7x - 1$，则 $du = 7 \, dx$，即 $dx = \frac{1}{7} \, du$。
3. **代入积分**：
- 将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分：
\[
\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx = \int \frac{7}{u^3} \cdot \frac{1}{7} \, du = \int \frac{1}{u^3} \, du
\]
4. **计算积分**：
- 积分 $\int \frac{1}{u^3} \, du$ 可以写成 $\int u^{-3} \, du$，使用幂函数的积分公式 $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$：
\[
\int u^{-3} \, du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C
\]
5. **回代 $u$**：
- 将 $u = 7x - 1$ 代回：
\[
-\frac{1}{2u^2} + C = -\frac{1}{2(7x-1)^2} + C
\]
6. **最终答案**：
- 因此，积分的结果为：
\[
\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx = -\frac{1}{2(7x-1)^2} + C
\]
### 最终答案
\[
\boxed{-\frac{1}{2(7x-1)^2} + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是利用代换法（u-代换）处理分式积分的能力。
解题核心思路：
观察到积分中的分母为$(7x-1)^3$，通过设定合适的代换变量简化积分形式。关键在于选择$u = 7x - 1$，将原积分转化为关于$u$的简单幂函数积分，再通过回代得到最终结果。
破题关键点：
- 正确选择代换变量，使得微分后能与积分中的其他项结合简化表达式。
- 准确处理代换后的积分形式，注意系数的调整。
- 应用幂函数积分公式，并正确回代变量。
步骤1：设定代换变量
令$u = 7x - 1$，则$du = 7 \, dx$，即$dx = \frac{1}{7} \, du$。
步骤2：代入积分表达式
原积分变为：
$\int \frac{7}{(7x-1)^3} \, dx = \int \frac{7}{u^3} \cdot \frac{1}{7} \, du = \int \frac{1}{u^3} \, du$
步骤3：计算幂函数积分
利用幂函数积分公式$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），得：
$\int u^{-3} \, du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$
步骤4：回代变量
将$u = 7x - 1$代入，得到最终结果：
$-\frac{1}{2(7x-1)^2} + C$