若 int f(x)dx = sin x + C，则 int xf(1-x^2)dx = ( )A. 2sin(1-x^2)+ CB. -(1)/(2)sin(1-x^2)+ CC. -2sin(1-x^2)+ CD. (1)/(2)sin(1-x^2)+ C

本题考查不定积分的换元积分法。解题的关键思路是通过合适的换元将给定的积分式子转化为已知形式，再利用已知条件进行求解。

1. 首先，设$u = 1 - x^2$，对$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
   • $du=(1 - x^2)^\prime dx=-2xdx$，那么$xdx=-\frac{1}{2}du$。
2. 然后，将$u = 1 - x^2$和$xdx=-\frac{1}{2}du$代入到$\int xf(1 - x^2)dx$中：
   • $\int xf(1 - x^2)dx=\int f(u)\cdot(-\frac{1}{2})du$。
3. 接着，根据不定积分的性质$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$为常数），对$\int f(u)\cdot(-\frac{1}{2})du$进行变形：
   • $\int f(u)\cdot(-\frac{1}{2})du=-\frac{1}{2}\int f(u)du$。
4. 已知$\int f(x)dx = \sin x + C$，由于不定积分与积分变量的符号无关，所以$\int f(u)du = \sin u + C$。
5. 最后，将$\int f(u)du = \sin u + C$代入$-\frac{1}{2}\int f(u)du$中，并把$u = 1 - x^2$代回：
   • $-\frac{1}{2}\int f(u)du=-\frac{1}{2}(\sin u + C)=-\frac{1}{2}\sin u-\frac{1}{2}C$。
   • 因为$C$为任意常数，所以$-\frac{1}{2}C$也为任意常数，可仍用$C$表示，即$-\frac{1}{2}\sin u-\frac{1}{2}C=-\frac{1}{2}\sin(1 - x^2)+ C$。