题目

12. (10.0分) 设随机变量X具有概率密度 f(x)=}(1)/(2)cos x,|x|<(pi)/(2),0,其他,则F(X)为 A F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(2)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),xge(pi)/(2) B F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(3)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),xge(pi)/(2) C F(x)=}0,x<(pi)/(2)1)/(2)(1+sin x),-(pi)/(2)le x<(pi)/(2)1)/(2),x>(pi)/(2)

12. (10.0分) 设随机变量X具有概率密度 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos x,|x|<\frac{\pi}{2},\\0,其他\end{cases}$,则F(X)为 A $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x\ge\frac{\pi}{2}\end{cases}$ B $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{3}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x\ge\frac{\pi}{2}\end{cases}$ C $F(x)=\begin{cases}0,x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2}(1+\sin x),-\frac{\pi}{2}\le x<\frac{\pi}{2}\\\frac{1}{2},x>\frac{\pi}{2}\end{cases}$

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \cos x, & |x| < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$，分情况讨论：

  1. 当 $x < -\frac{\pi}{2}$ 时：
    $f(t) = 0$（$t \leq x$），故 $F(x) = 0$。

  2. 当 $-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}$ 时：
    $F(x) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^x \frac{1}{2} \cos t \, dt = \frac{1}{2} (1 + \sin x)$。

  3. 当 $x \geq \frac{\pi}{2}$ 时：
    $F(x) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \cos t \, dt = 1$。

综上，分布函数为：
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < -\frac{\pi}{2}, \\ \frac{1}{2} (1 + \sin x), & -\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}, \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查随机变量分布函数的计算。解题思路是根据分布函数的定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，对$x$的不同取值范围进行分类讨论，分别计算积分得到分布函数$F(x)$在各区间的表达式。

  1. 当$x < -\frac{\pi}{2}$时：
    因为在$t\leq x$的区间内，$f(t) = 0$，根据分布函数的定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，此时积分区间内被积函数恒为$0$，所以$F(x)=\int_{-\infty}^{x}0dt = 0$。
  2. 当$-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}$时：
    根据分布函数定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，由于$f(t)$在$t<-\frac{\pi}{2}$时为$0$，所以$F(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{1}{2}\cos tdt$。
    先计算$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{1}{2}\cos tdt$，根据积分公式$\int\cos tdt=\sin t + C$（$C$为常数），可得：
    $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{1}{2}\cos tdt=\frac{1}{2}[\sin t]_{-\frac{\pi}{2}}^{x}=\frac{1}{2}(\sin x - \sin(-\frac{\pi}{2}))$
    因为$\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$，所以$\frac{1}{2}(\sin x - \sin(-\frac{\pi}{2}))=\frac{1}{2}(\sin x + 1)=\frac{1}{2}(1 + \sin x)$。
  3. 当$x \geq \frac{\pi}{2}$时：
    同样根据分布函数定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，$f(t)$在$t>\frac{\pi}{2}$时为$0$，所以$F(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{\pi}{2}}0dt+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos tdt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}0dt$。
    计算$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos tdt$，由积分公式$\int\cos tdt=\sin t + C$可得：
    $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos tdt=\frac{1}{2}[\sin t]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{2}-\sin(-\frac{\pi}{2}))$
    因为$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$，所以$\frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{2}-\sin(-\frac{\pi}{2}))=\frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$。

综上，分布函数为$F(x)=\begin{cases}0, & x < -\frac{\pi}{2}\\ \frac{1}{2}(1 + \sin x), & -\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{2}\\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2}\end{cases}$，与选项A一致。