21.24.（4.0分）n_(0)是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，xi_(1),xi_(2),...,xi_(5)是该方程组的一个基础解系，则该方程组的每个解都可以表示为n_(0),xi_(1),2xi_(2),...,sxi_(5)的线性组合.A. 对B. 错

本题考查非齐次线性方程组解的结构相关知识点。解题的关键在于明确非齐次线性方程组通解的构成，以及基础解系的性质，然后判断给定的向量组是否能表示方程组的每个解。

步骤一：明确非齐次线性方程组通解的结构

对于非齐次线性方程组$AX = b$，若$n_0$是它的一个特解，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$是其导出组$AX = 0$的一个基础解系，那么该非齐次线性方程组的通解$X$可以表示为$X=n_0 + k_1\xi_1 + k_2\xi_2+\cdots + k_s\xi_s$，其中$k_1,k_2,\cdots,k_s$为任意常数。这是因为非齐次线性方程组的通解等于它的一个特解加上其导出组的通解，而导出组的通解可以由基础解系线性表示。

步骤二：分析$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$与基础解系的关系

已知$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{5}$是$AX = 0$的一个基础解系，根据基础解系的性质，基础解系中的向量线性无关，且导出组的任意解都可以由基础解系线性表示。
对于向量组$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$，设存在一组数$c_1,c_2,\cdots,c_5$，使得$c_1\xi_{1}+c_2(2\xi_{2})+\cdots + c_5(s\xi_{5}) = 0$，即$c_1\xi_{1}+2c_2\xi_{2}+\cdots + sc_5\xi_{5} = 0$。
由于$\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{5}$线性无关，所以$c_1 = 0$，$2c_2 = 0$，$\cdots$，$sc_5 = 0$，由此可得$c_1 = c_2=\cdots = c_5 = 0$，这表明$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$线性无关。
又因为$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$都是$AX = 0$的解，且向量组中向量的个数与基础解系中向量的个数相同，所以$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$也是$AX = 0$的一个基础解系。

步骤三：判断$n_{0},\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$能否表示方程组的每个解

因为$\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$是$AX = 0$的一个基础解系，$n_0$是$AX = b$的一个特解，根据非齐次线性方程组通解的结构，$AX = b$的通解可以表示为$X=n_0 + k_1\xi_{1}+k_2(2\xi_{2})+\cdots + k_5(s\xi_{5})$，其中$k_1,k_2,\cdots,k_5$为任意常数。这说明该方程组的每个解都可以表示为$n_{0},\xi_{1},2\xi_{2},\cdots,s\xi_{5}$的线性组合。