题目

4 求出抛物面 z= (1)/(2)(ax^2+by^2) 在(0,0)点和方向(dx:dy)的法曲率.

4 求出抛物面 $z= \frac {1}{2}(ax^{2}+by^{2})$ 在(0,0)点和方向(dx:dy)的法曲率.

题目解答

答案

将抛物面 $ z = \frac{1}{2}(ax^2 + by^2) $ 参数化为 $ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, \frac{1}{2}(au^2 + bv^2)) $。
在点 $(0,0)$ 处，第一基本形式系数为：
$E = 1, \quad F = 0, \quad G = 1$
第二基本形式系数为：
$L = a, \quad M = 0, \quad N = b$
法曲率 $ k_n $ 由公式：
$k_n = \frac{Ldu^2 + 2M dudv + Ndv^2}{Edu^2 + 2F dudv + Gdv^2}$
代入系数得：
$k_n = \frac{a dx^2 + b dy^2}{dx^2 + dy^2}$

答案：
$\boxed{\frac{a dx^2 + b dy^2}{dx^2 + dy^2}}$

解析

本题考查抛物面法曲率的计算，解题思路是先将抛物面进行参数化，然后求出在指定点的第一基本形式系数和第二基本形式系数，最后代入法曲率公式进行计算。

  1. 参数化抛物面：
    把抛物面$z = \frac{1}{2}(ax^{2}+by^{2})$参数化为$\mathbf{r}(u, v)=(u, v, \frac{1}{2}(au^{2}+bv^{2}))$。
  2. 求第一基本形式系数：
    第一基本形式的系数计算公式为$E=\mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{u}$，$F = \mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{v}$，$G=\mathbf{r}_{v}\cdot\mathbf{r}_{v}$。
    • 先求偏导数：
      • $\mathbf{r}_{u}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=(1,0,au)$；
      • $\mathbf{r}_{v}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}=(0,1,bv)$。
    • 再计算系数：
      • $E=\mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{u}=(1,0,au)\cdot(1,0,au)=1 + a^{2}u^{2}$；
      • $F=\mathbf{r}_{u}\cdot\mathbf{r}_{v}=(1,0,au)\cdot(0,1,bv)=0$；
      • $G=\mathbf{r}_{v}\cdot\mathbf{r}_{v}=(0,1,bv)\cdot(0,1,bv)=1 + b^{2}v^{2}$。
        把点$(0,0)$（即$u = 0$，$v = 0$）代入上述系数，可得$E = 1$，$F = 0$，$G = 1$。
  3. 求第二基本形式系数：
    第二基本形式的系数计算公式为$L=\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}$，$M=\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}$，$N=\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}$，其中$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}}{\vert\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\vert}$。
    • 先求二阶偏导数：
      • $\mathbf{r}_{uu}=\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial u^{2}}=(0,0,a)$；
      • $\mathbf{r}_{uv}=\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial u\partial v}=(0,0,0)$；
      • $\mathbf{r}_{vv}=\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial v^{2}}=(0,0,b)$。
    • 再求$\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}$：
      $\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&au\\0&1&bv\end{vmatrix}=\mathbf{i}(0 - au)-\mathbf{j}(bv - 0)+\mathbf{k}(1-0)=(-au,-bv,1)$。
      在点$(0,0)$处，$\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}=(0,0,1)$，则$\mathbf{n}=(0,0,1)$。
    • 最后计算系数：
      • $L=\mathbf{r}_{uu}\cdot\mathbf{n}=(0,0,a)\cdot(0,0,1)=a$；
      • $M=\mathbf{r}_{uv}\cdot\mathbf{n}=(0,0,0)\cdot(0,0,1)=0$；
      • $N=\mathbf{r}_{vv}\cdot\mathbf{n}=(0,0,b)\cdot(0,0,1)=b$。
  4. 计算法曲率：
    法曲率公式为$k_{n}=\frac{Ldu^{2}+2M dudv + Ndv^{2}}{Edu^{2}+2F dudv + Gdv^{2}}$。
    把$E = 1$，$F = 0$，$G = 1$，$L = a$，$M = 0$，$N = b$代入公式，同时令$du = dx$，$dv = dy$，可得$k_{n}=\frac{a dx^{2}+b dy^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}$。