12.极限lim_(ntoinfty)(n^2+1)/((n+1)(n^2)+4)= ( )A. 0B. 1C. 2D. infty

本题考查数列极限的计算，解题思路是先对原式进行化简，然后根据极限的运算法则来求解。

1. 首先对原式的分子分母进行展开：
   已知原式为$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{(n + 1)(n^{2}+4)}$，将分母$(n + 1)(n^{2}+4)$展开，根据多项式乘法法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$可得：
   $(n + 1)(n^{2}+4)=n\times n^{2}+n\times4 + 1\times n^{2}+1\times4=n^{3}+4n + n^{2}+4=n^{3}+n^{2}+4n + 4$
   此时原式变为$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n^{2}+4n + 4}$。

2. 然后分子分母同时除以$n$的最高次幂$n^{3}$：
   $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+n^{2}+4n + 4}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{2}}{n^{3}}+\frac{1}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}}+\frac{n^{2}}{n^{3}}+\frac{4n}{n^{3}}+\frac{4}{n^{3}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{3}}}{1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}}$

3. 最后根据极限运算法则$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0$（$k\gt0$）来计算极限：
   $\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{3}}}{1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}}=\frac{\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{3}})}{\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}})}$
   因为$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}=0$，$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^{2}}=0$，$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^{3}}=0$，$\lim_{n\to\infty}1 = 1$，所以：
   $\frac{\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{3}})}{\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}})}=\frac{0 + 0}{1+0 + 0+0}=0$