题目

计算下列积分(1) int_(|z|=2) (2z^2 - z + 1)/(z-1) dz(2) int_(|z|=1) (e^z)/(z^100) dz(3) int_(|z|=2) (sin z)/((z-frac(pi){2))^2} dz

计算下列积分

(1) $\int_{|z|=2} \frac{2z^2 - z + 1}{z-1} dz$

(2) $\int_{|z|=1} \frac{e^z}{z^{100}} dz$

(3) $\int_{|z|=2} \frac{\sin z}{(z-\frac{\pi}{2})^2} dz$

题目解答

答案

(1) 由柯西积分公式，$f(z) = 2z^2 - z + 1$，$a = 1$，得
$\oint_{|z|=2} \frac{2z^2 - z + 1}{z - 1} \, dz = 2\pi i f(1) = 2\pi i \times 2 = 4\pi i$
答案： $4\pi i$

(2) 由柯西积分公式一般形式，$f(z) = e^z$，$a = 0$，$n = 99$，得
$\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^{100}} \, dz = \frac{2\pi i}{99!} f^{(99)}(0) = \frac{2\pi i}{99!} \times 1 = \frac{2\pi i}{99!}$
答案： $\frac{2\pi i}{99!}$

(3) 由柯西积分公式一般形式，$f(z) = \sin z$，$a = \frac{\pi}{2}$，$n = 1$，得
$\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{(z - \frac{\pi}{2})^2} \, dz = 2\pi i f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi i \times 0 = 0$
答案： $0$

$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) } 4\pi i \\\text{(2) } \frac{2\pi i}{99!} \\\text{(3) } 0 \\\end{array}}$

解析

本题主要考查柯西积分公式及其一般形式的应用。柯西积分公式为：若函数 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上连续，$a$ 为 $D$ 内任一点，则 $\oint_{C} \frac{f(z)}{z - a} dz = 2\pi i f(a)$；柯西积分公式的一般形式为：若函数 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上连续，$a$ 为 $D$ 内任一点，$n$ 为正整数，则 $\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$，其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f(z)$ 在 $a$ 点的 $n$ 阶导数。

(1) 计算 $\int_{|z|=2} \frac{2z^2 - z + 1}{z-1} dz$

  • 首先，判断被积函数的形式。令 $f(z) = 2z^2 - z + 1$，$a = 1$，积分曲线为 $|z| = 2$，这是一个以原点为圆心，半径为 2 的圆周。
  • 然后，判断 $a$ 点与积分曲线的位置关系。由于 $|1| = 1 < 2$，所以点 $a = 1$ 在积分曲线 $|z| = 2$ 所围成的区域内。
  • 最后，根据柯西积分公式 $\oint_{C} \frac{f(z)}{z - a} dz = 2\pi i f(a)$，可得：
    $\oint_{|z|=2} \frac{2z^2 - z + 1}{z - 1} dz = 2\pi i f(1)$
    将 $z = 1$ 代入 $f(z) = 2z^2 - z + 1$ 中，得 $f(1) = 2\times1^2 - 1 + 1 = 2$。
    所以，$\oint_{|z|=2} \frac{2z^2 - z + 1}{z - 1} dz = 2\pi i \times 2 = 4\pi i$。

(2) 计算 $\int_{|z|=1} \frac{e^z}{z^{100}} dz$

  • 首先，判断被积函数的形式。令 $f(z) = e^z$，$a = 0$，$n = 99$，积分曲线为 $|z| = 1$，这是一个以原点为圆心，半径为 1 的圆周。
  • 然后，判断 $a$ 点与积分曲线的位置关系。由于 $|0| = 0 < 1$，所以点 $a = 0$ 在积分曲线 $|z| = 1$ 所围成的区域内。
  • 最后，根据柯西积分公式的一般形式 $\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$，可得：
    $\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^{100}} dz = \frac{2\pi i}{99!} f^{(99)}(0)$
    因为 $(e^z)^{(n)} = e^z$，所以 $f^{(99)}(z) = e^z$，将 $z = 0$ 代入 $f^{(99)}(z)$ 中，得 $f^{(99)}(0) = e^0 = 1$。
    所以，$\oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^{100}} dz = \frac{2\pi i}{99!} \times 1 = \frac{2\pi i}{99!}$。

(3) 计算 $\int_{|z|=2} \frac{\sin z}{(z-\frac{\pi}{2})^2} dz$

  • 首先，判断被积函数的形式。令 $f(z) = \sin z$，$a = \frac{\pi}{2}$，$n = 1$，积分曲线为 $|z| = 2$，这是一个以原点为圆心，半径为 2 的圆周。
  • 然后，判断 $a$ 点与积分曲线的位置关系。由于 $|\frac{\pi}{2}| \approx 1.57 < 2$，所以点 $a = \frac{\pi}{2}$ 在积分曲线 $|z| = 2$ 所围成的区域内。
  • 最后，根据柯西积分公式的一般形式 $\oint_{C} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$，可得：
    $\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{(z - \frac{\pi}{2})^2} dz = 2\pi i f'(\frac{\pi}{2})$
    因为 $(\sin z)' = \cos z$，所以 $f'(z) = \cos z$，将 $z = \frac{\pi}{2}$ 代入 $f'(z)$ 中，得 $f'(\frac{\pi}{2}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$。
    所以，$\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{(z - \frac{\pi}{2})^2} dz = 2\pi i \times 0 = 0$。