题目

四阶行列式中包含 a_(22)a_(43) 且带正号的项是（ ）A. a_(12)a_(22)a_(31)a_(43)B. a_(11)a_(22)a_(34)a_(43)C. a_(14)a_(22)a_(31)a_(43)D. a_(34)a_(22)a_(31)a_(43)

四阶行列式中包含 $a_{22}a_{43}$ 且带正号的项是（ ）

A. $a_{12}a_{22}a_{31}a_{43}$

B. $a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}$

C. $a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}$

D. $a_{34}a_{22}a_{31}a_{43}$

题目解答

答案

C. $a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}$

解析

本题考查四阶行列式的定义及项的符号判断。解题思路是根据四阶行列式的定义确定包含$a_{22}a_{43}$的项的形式，再通过计算列标排列的逆序数来判断该项的符号。

步骤一：确定包含$a_{22}a_{43}$的项的形式

根据$n$阶行列式的定义，$n$阶行列式是$n!$项的代数和，每一项都是取自不同行不同列的$n$个元素的乘积。
对于四阶行列式，包含$a_{22}a_{43}$的项，还需要从第一行和第三行中选取不同列的元素。第一行和第三行不能再选第$2$列和第$3$列的元素，所以第一行和第三行只能从第$1$列和第$4$列中选取元素，那么包含$a_{22}a_{43}$的项有$a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}$和$a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}$。

步骤二：判断各项的符号

对于$n$阶行列式中每一项$a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$，其符号由列标排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$决定，符号为$(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$。

  • 对于$a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}$：
    列标排列为$1243$，计算其逆序数$\tau(1243)$。
    逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
    在$1243$中，$4$和$3$构成逆序，逆序数$\tau(1243)=1$，所以该项的符号为$(-1)^{\tau(1243)} = (-1)^1=-1$，该项带负号。
  • 对于$a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}$：
    列标排列为$4213$，计算其逆序数$\tau(4213)$。
    在$4213$中，$4$和$2$、$4$和$1$、$4$和$3$、$2$和$1$构成逆序，逆序数$\tau(4213)=4$，所以该项的符号为$(-1)^{\tau(4213)} = (-1)^4 = 1$，该项带正号。