5.若齐次线性方程组}2x_(1)-x_(2)+x_(3)=0x_(1)+kx_(2)-x_(3)=0kx_(1)+x_(2)+x_(3)=0仅有零解，则k必须满足（C）.A. k=4B. k=-1C. k≠-1且k≠4D. k=-1或k=4

本题考查齐次线性方程组仅有零解的条件，解题思路是根据齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数行列式不等于零，先求出该方程组的系数行列式，再令其不等于零，解出$k$的取值范围。

步骤一：写出齐次线性方程组的系数行列式

对于齐次线性方程组$\begin{cases}2x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+kx_{2}-x_{3}=0\\kx_{1}+x_{2}+x_{3}=0\end{cases}$，其系数行列式$D$为：
\(D=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & k & -1 \\ k & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

步骤二：计算系数行列式$D$的值

根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
$\begin{align*}D&=2\times\begin{vmatrix}k & -1 \\1 & 1\end{vmatrix}-(-1)\times\begin{vmatrix}1 & -1 \\k & 1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1 & k \\k & 1\end{vmatrix}\\&=2\times(k\times1 - (-1)\times1)+1\times(1\times1 - (-1)\times k)+1\times(1\times1 - k\times k)\\&=2\times(k + 1)+(1 + k)+(1 - k^2)\\&=2k + 2 + 1 + k + 1 - k^2\\&=-k^2 + 3k + 4\end{align*}$

步骤三：根据齐次线性方程组仅有零解的条件求解$k$的取值范围

因为齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数行列式$D\neq0$，即$-k^2 + 3k + 4\neq0$。
将不等式变形为$k^2 - 3k - 4\neq0$，因式分解可得$(k - 4)(k + 1)\neq0$。
要使$(k - 4)(k + 1)\neq0$成立，则$k - 4\neq0$且$k + 1\neq0$，解得$k\neq4$且$k\neq -1$。