题目

平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x^2的曲线方程为 ________

平面上过点$(0,1)$，且在任意一点$(x,y)$处的切线斜率为$3x^2$的曲线方程为 ________

题目解答

答案

我们已知：

  • 曲线过点 $(0,1)$；
  • 在任意一点 $(x, y)$ 处，切线的斜率为 $3x^2$。

第一步：理解题意

切线的斜率就是函数的导数。因此，若设曲线的方程为 $y = y(x)$，则根据题意，有：
$\frac{dy}{dx} = 3x^2$

这是一个一阶微分方程，我们可以通过积分来求解。

第二步：积分求通解

对两边关于 $x$ 积分：
$y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C$

所以，曲线的通解为：
$y = x^3 + C$

第三步：利用初始条件确定常数

题目给出曲线过点 $(0,1)$，即当 $x = 0$ 时，$y = 1$。代入上式：
$1 = (0)^3 + C \Rightarrow C = 1$

第四步：写出特解

将 $C = 1$ 代入通解，得到曲线方程：
$y = x^3 + 1$

最终答案：

$\boxed{y = x^3 + 1}$

解析

本题考查的知识点是利用导数的几何意义以及不定积分来求解曲线方程。解题思路如下：

  1. 首先根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率就是该点处的导数值。已知曲线在任意一点$(x,y)$处的切线斜率为$3x^2$，设曲线方程为$y = y(x)$，那么就可以得到$\frac{dy}{dx}=3x^2$，这是一个一阶微分方程。
  2. 对$\frac{dy}{dx}=3x^2$两边关于$x$进行积分，根据不定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），可得：
    • $y=\int 3x^2dx$，因为$\int 3x^2dx = 3\int x^2dx$，而$\int x^2dx=\frac{1}{2 + 1}x^{2 + 1}+C=\frac{1}{3}x^3+C$，所以$3\int x^2dx=3\times\frac{1}{3}x^3+C=x^3+C$，即曲线的通解为$y = x^3+C$，其中$C$为积分常数。
  3. 已知曲线过点$(0,1)$，这是一个初始条件。将$x = 0$，$y = 1$代入通解$y=x^3+C$中，得到$1=(0)^3+C$。
    • 计算$(0)^3 = 0$，则$1=0 + C$，解得$C = 1$。
  4. 把$C = 1$代入通解$y=x^3+C$中，就可以得到曲线的特解，即曲线方程为$y=x^3 + 1$。