题目

4.若随机事件A，B满足P(AB)=P(overline(AB))，且P(A)=0.3，则P(B)=____.

4.若随机事件A，B满足$P(AB)=P(\overline{AB})$，且P(A)=0.3，则P(B)=____.

题目解答

答案

根据题意，$P(AB) = P(\overline{A}\overline{B})$，且 $P(A) = 0.3$。 由概率公式，$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A \cup B)$，而 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。 将 $P(AB) = P(\overline{A}\overline{B})$ 代入，得： \[ P(AB) = 1 - (P(A) + P(B) - P(AB)) \] 整理得： \[ 2P(AB) = 1 - P(A) - P(B) \] 又因为 $P(AB) = P(A)P(B)$（独立事件），但题目未说明独立性，故直接使用 $P(AB) = P(A)P(B)$ 不成立。 实际上，应将 $P(AB)$ 视为 $P(A \cap B)$，则： \[ P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB) \] 解得： \[ P(AB) = \frac{1 - P(A) - P(B)}{0} \quad \text{(此路不通)} \] 显然，这里需要重新理解条件。 根据 $P(AB) = P(\overline{A}\overline{B})$，可得： \[ P(AB) = 1 - P(A \cup B) \] 即： \[ P(AB) = 1 - (P(A) + P(B) - P(AB)) \] \[ 2P(AB) = 1 - P(A) - P(B) \] 由于 $P(AB) = P(A)P(B)$ 不一定成立，我们假设 $A$ 和 $B$ 独立，则： \[ 2P(A)P(B) = 1 - P(A) - P(B) \] 但题目未给出独立性，故应直接求 $P(B)$。 将 $P(A) = 0.3$ 代入： \[ P(AB) = 1 - 0.3 - P(B) + P(AB) \] \[ 0 = 0.7 - P(B) \] \[ P(B) = 0.7 \] 因此，$P(B) = 0.7$。 答案：0.7

解析

本题考查概率的基本公式及事件关系的运用。解题的关键在于利用概率的基本公式对已知条件进行转化和化简，从而求出$P(B)$的值。

  1. 首先，根据概率的基本性质，对于任意事件$C$，有$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$。
    • 已知$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，因为$\overline{A}\overline{B}=\overline{A\cup B}$，所以$P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A\cup B)$，则可得$P(AB)=1 - P(A\cup B)$。
  2. 然后，根据概率的加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，将其代入上式：
    • 把$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$代入$P(AB)=1 - P(A\cup B)$中，得到$P(AB)=1-(P(A)+P(B)-P(AB))$。
  3. 接着，对上式进行化简：
    • 去括号可得$P(AB)=1 - P(A)-P(B)+P(AB)$。
    • 两边同时减去$P(AB)$，得到$0 = 1 - P(A)-P(B)$。
  4. 最后，将$P(A)=0.3$代入化简后的式子求解$P(B)$：
    • 把$P(A)=0.3$代入$0 = 1 - P(A)-P(B)$，即$0 = 1 - 0.3 - P(B)$。
    • 移项可得$P(B)=1 - 0.3$。
    • 计算得$P(B)=0.7$。