题目

问答题 34/35 (5分)34、求不定积分int(3x+2)^2025dx；

问答题 34/35 (5分) 34、求不定积分$\int(3x+2)^{2025}dx$；

题目解答

答案

令 $ u = 3x + 2 $，则 $ du = 3dx $，即 $ dx = \frac{1}{3}du $。
将原积分代入得：
$\int (3x+2)^{2025}dx = \int u^{2025} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int u^{2025}du$
根据幂函数积分公式 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，可得：
$\frac{1}{3} \int u^{2025}du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{2026}}{2026} + C = \frac{u^{2026}}{6078} + C$
将 $ u = 3x + 2 $ 代回，得：
$\frac{(3x+2)^{2026}}{6078} + C$
答案：
$\boxed{\frac{(3x+2)^{2026}}{6078} + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。换元积分法的核心思想是通过引入一个新的变量，将复杂的积分转化为较为简单的积分形式，然后利用已知的积分公式进行计算，最后再将新变量换回原变量。

  1. 换元：
    • 令$u = 3x + 2$，对$u$求关于$x$的导数，根据求导公式$(ax + b)^\prime=a$，可得$\frac{du}{dx}=3$，变形得到$du = 3dx$，进一步得出$dx=\frac{1}{3}du$。
    • 将$u = 3x + 2$和$dx=\frac{1}{3}du$代入原积分$\int(3x + 2)^{2025}dx$中，得到$\int u^{2025}\cdot\frac{1}{3}du$。
  2. 计算积分：
    • 根据积分的常数倍数性质$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$为常数），对于$\int u^{2025}\cdot\frac{1}{3}du$，可将$\frac{1}{3}$提出，得到$\frac{1}{3}\int u^{2025}du$。
    • 再根据幂函数积分公式$\int u^n du=\frac{u^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq - 1$，$C$为积分常数），当$n = 2025$时，$\frac{1}{3}\int u^{2025}du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2025 + 1}}{2025+1}+C=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2026}}{2026}+C$。
    • 对$\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2026}}{2026}$进行化简，$\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2026}}{2026}=\frac{u^{2026}}{3\times2026}=\frac{u^{2026}}{6078}$，所以$\frac{1}{3}\int u^{2025}du=\frac{u^{2026}}{6078}+C$。
  3. 回代：
    • 把$u = 3x + 2$代回$\frac{u^{2026}}{6078}+C$中，得到$\frac{(3x + 2)^{2026}}{6078}+C$。