题目

13.求微分方程(x^3+y^3)dx-3xy^2dy=0的通解.

13.求微分方程$(x^{3}+y^{3})dx-3xy^{2}dy=0$的通解.

题目解答

答案

将原方程改写为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^3 + y^3}{3xy^2} \] 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，代入得： \[ u + x \frac{du}{dx} = \frac{1 + u^3}{3u^2} \] 整理得： \[ x \frac{du}{dx} = \frac{1 - 2u^3}{3u^2} \] 分离变量并积分： \[ \int \frac{3u^2}{1 - 2u^3} \, du = \int \frac{dx}{x} \] 左边积分得： \[ -\frac{1}{2} \ln |1 - 2u^3| = \ln |x| + C \] 解得： \[ 1 - 2u^3 = \frac{C}{x^2} \] 代回 $u = \frac{y}{x}$： \[ 1 - 2 \left( \frac{y}{x} \right)^3 = \frac{C}{x^2} \] 整理得通解： \[ \boxed{x^3 - 2y^3 = Cx} \]

解析

本题考查一阶齐次微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为齐次方程的标准形式，然后通过变量代换将其转化为可分离变量的微分方程，接着对分离变量后的方程两边进行积分，最后将代换变量还原得到原方程的通解。

  1. 将原方程化为齐次方程标准形式：
    已知原方程$(x^{3}+y^{3})dx - 3xy^{2}dy = 0$，移项可得$3xy^{2}dy=(x^{3}+y^{3})dx$，两边同时除以$3x dx$（$x\neq0$），得到$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}+y^{3}}{3xy^{2}}$。
  2. 进行变量代换：
    令$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$。对$y = ux$两边关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u$是关于$x$的函数，$v = x$，可得$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
    将$y = ux$代入$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}+y^{3}}{3xy^{2}}$中，得到$u + x\frac{du}{dx}=\frac{x^{3}+(ux)^{3}}{3x(ux)^{2}}$，化简分子分母：
    分子$x^{3}+(ux)^{3}=x^{3}+u^{3}x^{3}=x^{3}(1 + u^{3})$，分母$3x(ux)^{2}=3x\cdot u^{2}x^{2}=3u^{2}x^{3}$，则$u + x\frac{du}{dx}=\frac{x^{3}(1 + u^{3})}{3u^{2}x^{3}}=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}$。
  3. 分离变量：
    将$u + x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}$移项可得$x\frac{du}{dx}=\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}-u$，通分计算右边式子：
    $\frac{1 + u^{3}}{3u^{2}}-u=\frac{1 + u^{3}-3u^{3}}{3u^{2}}=\frac{1 - 2u^{3}}{3u^{2}}$，即$x\frac{du}{dx}=\frac{1 - 2u^{3}}{3u^{2}}$。
    两边同时分离变量，得到$\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=\frac{dx}{x}$。
  4. 两边积分：
    对$\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=\frac{dx}{x}$两边分别积分。
    • 对于$\int\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du$，令$t = 1 - 2u^{3}$，则$dt=-6u^{2}du$，$u^{2}du=-\frac{1}{6}dt$，所以$\int\frac{3u^{2}}{1 - 2u^{3}}du=\int\frac{3}{t}\cdot(-\frac{1}{6})dt=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt=-\frac{1}{2}\ln|t|=-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u^{3}|$。
    • 对于$\int\frac{dx}{x}$，根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C_1$（$C_1$为常数）。
      则$-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u^{3}|=\ln|x|+C$（$C$为任意常数）。
  5. 求解$u$：
    对$-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u^{3}|=\ln|x|+C$进行化简，两边同时乘以$-2$得$\ln|1 - 2u^{3}|=-2\ln|x|-2C$。
    根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$，$-2\ln|x|=\ln x^{-2}=\ln\frac{1}{x^{2}}$，令$C_2=-2C$（$C_2$为任意常数），则$\ln|1 - 2u^{3}|=\ln\frac{1}{x^{2}}+C_2$。
    根据对数函数的性质，可得$1 - 2u^{3}=e^{\ln\frac{1}{x^{2}}+C_2}=e^{C_2}\cdot\frac{1}{x^{2}}$，令$C = e^{C_2}$（$C$为任意常数），则$1 - 2u^{3}=\frac{C}{x^{2}}$。
  6. 回代$u$得到通解：
    将$u = \frac{y}{x}$代回$1 - 2u^{3}=\frac{C}{x^{2}}$中，得到$1 - 2(\frac{y}{x})^{3}=\frac{C}{x^{2}}$。
    等式两边同时乘以$x^{3}$，得到$x^{3}-2y^{3}=Cx$，这就是原微分方程的通解。