题目
已知曲面S的第一基本形式I=du^2+u^2dv^2，由u=0,u=3,v=0,v=π所围成的曲面域的面积（）
已知曲面S的第一基本形式$I=du^{2}+u^{2}dv^{2}$，由u=0,u=3,v=0,v=π所围成的曲面域的面积（）
题目解答
答案
由第一基本形式 $ I = du^2 + u^2 dv^2 $，得 $ E = 1 $，$ F = 0 $，$ G = u^2 $。
面积元素为：
\[
dA = \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv = \sqrt{u^2} \, du \, dv = u \, du \, dv \quad (\text{因 } u \geq 0)
\]
积分求面积：
\[
A = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3} u \, du \, dv = \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{3} dv = \int_{0}^{\pi} \frac{9}{2} dv = \frac{9\pi}{2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{9\pi}{2}}$
解析
本题考查利用曲面的第一基本形式计算曲面域的面积。解题思路如下：
- 首先，根据曲面第一基本形式$I = E du^{2}+2F du dv + G dv^{2}$，从给定的第一基本形式$I=du^{2}+u^{2}dv^{2}$中确定系数$E$、$F$和$G$的值。
- 对比可得$E = 1$，$F = 0$，$G = u^{2}$。
- 然后，根据曲面面积元素公式$dA=\sqrt{EG - F^{2}}dudv$计算面积元素。
- 将$E = 1$，$F = 0$，$G = u^{2}$代入公式，可得$dA=\sqrt{1\times u^{2}-0^{2}}dudv=\sqrt{u^{2}}dudv$。
- 因为$u$的积分区间是$[0,3]$，即$u\geq0$，所以$\sqrt{u^{2}} = u$，那么$dA = u dudv$。
- 最后，根据二重积分计算曲面域的面积。
- 已知曲面域由$u = 0$，$u = 3$，$v = 0$，$v=\pi$所围成，所以面积$A=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}u dudv$。
- 先对$u$积分：$\int_{0}^{3}u du=\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{9}{2}$。
- 再对$v$积分：$\int_{0}^{\pi}\frac{9}{2}dv=\frac{9}{2}\left[v\right]_{0}^{\pi}=\frac{9}{2}(\pi - 0)=\frac{9\pi}{2}$。