题目

3.求不定积分int x^2lnxdx.

3.求不定积分$\int x^{2}lnxdx$.

题目解答

答案

为了求不定积分 $\int x^2 \ln x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 我们需要选择 $u$ 和 $dv$。根据“对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数、指数函数”（ remembered by "Liate"）的顺序，我们选择 $u = \ln x$ 和 $dv = x^2 \, dx$。 首先，我们计算 $du$ 和 $v$： \[ du = \frac{1}{x} \, dx \] \[ v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] 现在，将 $u$， $v$， $du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] 简化积分项： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \int \frac{x^2}{3} \, dx \] 计算 $\int \frac{x^2}{3} \, dx$: \[ \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{9} \] 将这个结果代回原式： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] 其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是： \[ \boxed{\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C} \]

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是使用分部积分法。分部积分法的公式为$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。对于$\int x^{2}\ln xdx$，根据“对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数、指数函数”（Liate）的顺序，选择$u = \ln x$，$dv = x^2 \, dx$。

  1. 计算$du$和$v$：
    • 对$u = \ln x$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$du = \frac{1}{x} \, dx$。
    • 对$dv = x^2 \, dx$积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$。
  2. 将$u$，$v$，$du$和$dv$代入分部积分公式：
    • $\int x^{2}\ln xdx=\ln x\cdot\frac{x^3}{3}-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx$。
  3. 简化积分项：
    • $\int x^{2}\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int\frac{x^2}{3}dx$。
  4. 计算$\int\frac{x^2}{3}dx$：
    • $\int\frac{x^2}{3}dx=\frac{1}{3}\int x^2dx$，再根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\frac{1}{3}\int x^2dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3}=\frac{x^3}{9}$。
  5. 将结果代回原式：
    • $\int x^{2}\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+C$，其中$C$是积分常数。