18.（5.0分）lim_(ntoinfty)u_(n)=0是常数项级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛的必要不充分条件。（）A. 对B. 错

本题考查常数项级数收敛的必要条件以及充分条件的判断。解题思路是先明确常数项级数收敛的必要条件，再通过举例说明该条件不是充分条件，从而判断命题的正确性。

1. 证明$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$是常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要条件

设常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$的部分和为$S_{n}=\sum_{k = 1}^{n}u_{k}$，且$\lim_{n\to\infty}S_{n}=S$（即级数收敛）。
因为$u_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$（$n\geq2$），那么$\lim_{n\to\infty}u_{n}=\lim_{n\to\infty}(S_{n}-S_{n - 1})$。
根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(S_{n}-S_{n - 1})=\lim_{n\to\infty}S_{n}-\lim_{n\to\infty}S_{n - 1}$，又因为$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}S_{n - 1}=S$，所以$\lim_{n\to\infty}u_{n}=S - S = 0$。
这就证明了若常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$，即$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$是常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要条件。

2. 证明$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$不是常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的充分条件

考虑调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，对于$u_{n}=\frac{1}{n}$，有$\lim_{n\to\infty}u_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$。
下面用反证法证明调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。
假设调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$收敛，设其和为$S$，即$S = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$。
$S_{2n}-S_{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+\cdots+\frac{1}{2n}\gt\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}$（共$n$项），即$S_{2n}-S_{n}\gt\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$。
当$n\to\infty$时，$\lim_{n\to\infty}(S_{2n}-S_{n})\geq\frac{1}{2}\neq0$，这与级数收敛时$\lim_{n\to\infty}(S_{2n}-S_{n}) = 0$矛盾，所以调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。
这表明存在$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$的级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$是发散的，即$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$不是常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的充分条件。

综上，$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$是常数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要不充分条件，所以该命题正确。