题目

int_(-1)^1 (x cos x)/(1 + x^2) dx = _____

$\int_{-1}^{1} \frac{x \cos x}{1 + x^2} dx = \_\_\_\_\_$

题目解答

答案

令 $ f(x) = \frac{x \cos x}{1 + x^2} $，分析其奇偶性： - 计算 $ f(-x) $： \[ f(-x) = \frac{(-x)\cos(-x)}{1 + (-x)^2} = \frac{-x \cos x}{1 + x^2} = -f(x) \] 故 $ f(x) $ 是奇函数。 - 积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称。 - 应用奇函数在对称区间上的积分性质： \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad (\text{当 } f(x) \text{ 为奇函数}) \] 因此， \[ \int_{-1}^{1} \frac{x \cos x}{1 + x^2} \, dx = 0 \]

解析

本题考查定积分的计算以及奇函数在对称区间上的积分性质。解题思路如下：

  1. 首先，我们需要判断被积函数$f(x)=\frac{x\cos x}{1 + x^2}$的奇偶性。根据函数奇偶性的定义，若$f(-x)=f(x)$，则函数$f(x)$为偶函数；若$f(-x)= -f(x)$，则函数$f(x)$为奇函数。
  2. 计算$f(-x)$：
    • 已知$f(x)=\frac{x\cos x}{1 + x^2}$，将$x$替换为$-x$，可得$f(-x)=\frac{(-x)\cos(-x)}{1 + (-x)^2}$。
    • 根据三角函数的性质$\cos(-x)=\cos x$，则$f(-x)=\frac{-x\cos x}{1 + x^2}=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
  3. 观察积分区间$[-1,1]$，它关于原点对称。
  4. 对于奇函数$f(x)$在关于原点对称的区间$[-a,a]$上的定积分，有性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$。
    • 在本题中$a = 1$，所以$\int_{-1}^{1}\frac{x\cos x}{1 + x^2}dx = 0$。