题目

16.若随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n),...相互独立并服从同一分布，且E(X_(i))=mu，D(X_(i))=sigma^2 (i=1,2,...,n)，则(frac(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-mu}(sqrt((sigma)/(n)))近似服从N(0,1)(). square √ square ×

16.若随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$相互独立并服从同一分布，且$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2} (i=1,2,\cdots,n)$，则$\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}}$近似服从N(0,1)(). $\square$ √ $\square$ ×

题目解答

答案

题目考察中心极限定理的应用。根据题意，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且服从同一分布，满足 $E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2$。令 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，则 $E(\bar{X}) = \mu$，$D(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。 根据中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$\bar{X}$ 近似服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 将 $\bar{X}$ 标准化得： \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \sim N(0,1) \] 然而，题目中给出的表达式为： \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}} \] 显然，分母应为 $\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，而非 $\sqrt{\frac{\sigma}{n}}$。因此，题目中的表达式不符合标准正态分布的要求。 综上，题目中的结论是错误的。 答案：×

解析

本题考查中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件：随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$相互独立并服从同一分布，且$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2} (i = 1,2,\cdots,n)$。
  2. 设$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，根据期望和方差的性质来计算$\bar{X}$的期望和方差。
    • 期望的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，$E(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\cdots +a_{n}X_{n})=a_{1}E(X_{1})+a_{2}E(X_{2})+\cdots +a_{n}E(X_{n})$。对于$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，其中$a_{i}=\frac{1}{n}(i = 1,2,\cdots,n)$，则$E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$。因为$E(X_{i})=\mu$，所以$E(\bar{X})=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$。
    • 方差的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，$D(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\cdots +a_{n}X_{n})=a_{1}^{2}D(X_{1})+a_{2}^{2}D(X_{2})+\cdots +a_{n}^{2}D(X_{n})$。对于$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，其中$a_{i}=\frac{1}{n}(i = 1,2,\cdots,n)$，则$D(\bar{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。因为$D(X_{i})=\sigma^{2}$，所以$D(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
  3. 根据中心极限定理，当$n$充分大时，$\bar{X}$近似服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
  4. 对于正态分布$Y\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其标准化形式为$Z = \frac{Y-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。那么对于$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，将其标准化可得$\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$，而$\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
  5. 题目中给出的表达式为$\frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma}{n}}}$，其分母为$\sqrt{\frac{\sigma}{n}}$，与标准化后的分母$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$不一致，所以该表达式不近似服从$N(0,1)$，题目中的结论是错误的。