1.求下列各微分方程的通解:(1)y^primeprime=x+sin x;(3)y^primeprime=(1)/(1+x^2);(5)y^primeprime=y^prime+x;(7)yy^primeprime+2y^prime 2=0;

本题主要考查不同类型二阶微分方程的求解，下面分别对各小题进行分析求解：

（1）$y^{\prime\prime}=x+\sin x$

本题考查可直接积分求解的二阶微分方程。对于这种形式的方程，我们可以通过对其进行两次积分来得到通解。

• 第一次积分求$y'$：
  对$y^{\prime\prime}=x+\sin x$两边同时积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$）和$\int \sin x dx=-\cos x+C$可得：
  $y^{\prime}=\int (x+\sin x)dx=\int xdx+\int \sin xdx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C_1$
• 第二次积分求$y$：
  对$y^{\prime}=\frac{x^2}{2}-\cos x+C_1$两边再次积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$）和$\int \cos x dx=\sin x+C$可得：
  $y=\int (\frac{x^2}{2}-\cos x+C_1)dx=\int \frac{x^2}{2}dx-\int \cos xdx+\int C_1dx=\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}-\sin x+C_1x+C_2=\frac{x^3}{6}-\sin x+C_1x+C_2$

（3）$y^{\prime\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$

本题同样考查可直接积分求解的二阶微分方程，通过两次积分得到通解。

• 第一次积分求$y'$：
  对$y^{\prime\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$两边同时积分，根据积分公式$\int \frac{1}{1 + x^2}dx=\arctan x+C$可得：
  $y^{\prime}=\int \frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan x+C_1$
• 第二次积分求$y$：
  对$y^{\prime}=\arctan x+C_1$两边再次积分，根据分部积分法$\int u dv=uv-\int v du$，令$u = \arctan x$，$dv = dx$，则$du = \frac{1}{1 + x^2}dx$，$v = x$，可得：
  $\int \arctan xdx=x\arctan x-\int \frac{x}{1 + x^2}dx$
  对于$\int \frac{x}{1 + x^2}dx$，令$t = 1 + x^2$，则$dt = 2xdx$，$\int \frac{x}{1 + x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}\ln t+C=\frac{1}{2}\ln (1 + x^2)+C$
  所以$y=\int (\arctan x+C_1)dx=\int \arctan xdx+\int C_1dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1 + x^2)+C_1x+C_2$

（5）$y^{\prime\prime}=y^{\prime}+x$

本题考查可降阶的二阶微分方程，通过令$p = y'$将其转化为一阶线性方程求解。

• 令$p = y'$，将方程转化为一阶线性方程：
  则$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}$，原方程$y^{\prime\prime}=y^{\prime}+x$可化为$\frac{dp}{dx}-p = x$，这是一个一阶线性非齐次方程，其标准形式为$\frac{dp}{dx}+P(x)p = Q(x)$，其中$P(x)= -1$，$Q(x)= x$。
• 求一阶线性方程的通解：
  先求对应的齐次方程$\frac{dp}{dx}-p = 0$的通解，分离变量得$\frac{dp}{p}=dx$，两边积分得$\ln p = x + C$，即$p = Ce^x$。
  再用常数变易法求非齐次方程的通解，设$p = C(x)e^x$，则$\frac{dp}{dx}=C^{\prime}(x)e^x+C(x)e^x$，代入$\frac{dp}{dx}-p = x$可得：
  $C^{\prime}(x)e^x+C(x)e^x - C(x)e^x = x$，即$C^{\prime}(x)e^x = x$，$C^{\prime}(x)=xe^{-x}$。
  对$C^{\prime}(x)=xe^{-x}$两边积分，根据分部积分法$\int u dv=uv-\int v du$，令$u = x$，$dv = e^{-x}dx$，则$du = dx$，$v = -e^{-x}$，可得：
  $C(x)=\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C=-(x + 1)e^{-x}+C$
  所以$p = C(x)e^x=[-(x + 1)e^{-x}+C]e^x=-x - 1 + Ce^x$，即$y^{\prime}=-x - 1 + Ce^x$。
• 求$y$：
  对$y^{\prime}=-x - 1 + Ce^x$两边积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$）和$\int e^x dx=e^x+C$可得：
  $y=\int (-x - 1 + Ce^x)dx=-\frac{x^2}{2}-x + Ce^x+C_2$

（7）$yy^{\prime\prime}+2y^{\prime 2}=0$

本题考查可降阶的二阶微分方程，通过令$p = y'$将其转化为可分离变量的方程求解。

• 令$p = y'$，将方程转化为可分离变量的方程：
  则$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，原方程$yy^{\prime\prime}+2y^{\prime 2}=0$可化为$yp\frac{dp}{dy}+2p^2 = 0$。
• 分离变量求解：
  当$p\neq 0$时，方程两边同时除以$p$得$y\frac{dp}{dy}+2p = 0$，分离变量得$\frac{dp}{p}=-\frac{2}{y}dy$。
  两边积分得$\ln p = -2\ln y + C$，即$\ln p = \ln y^{-2} + C$，$p = \frac{C_1}{y^2}$（令$C_1 = e^C$）。
  因为$p = y'$，所以$y' = \frac{C_1}{y^2}$，即$y^2dy = C_1dx$。
• 求$y$：
  对$y^2dy = C_1dx$两边积分，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
  $\frac{y^3}{3}=C_1x+C_2$，即$y^3 = C_1x+C_2$。