题目
假设一个曲线形构件的位置在xoy面内的曲线L:y=sinx，x∈[0,π]上，它的线密度为ρ(x,y)，若将该曲线形构件的质量M表示为第一类曲线积分的形式，则M=_____.
假设一个曲线形构件的位置在xoy面内的曲线L:y=sinx，x∈[0,π]上，它的线密度为ρ(x,y)，若将该曲线形构件的质量M表示为第一类曲线积分的形式，则M=_____.
题目解答
答案
曲线形构件的质量 $ M $ 可以表示为第一类曲线积分，即 $ M = \int_L \rho(x, y) \, ds $。对于曲线 $ L: y = \sin x $（$ x \in [0, \pi] $），弧长微元 $ ds $ 为：
\[
ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx
\]
因此，质量 $ M $ 的表达式为：
\[
M = \int_0^\pi \rho(x, \sin x) \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx
\]
答案：$\boxed{\int_0^\pi \rho(x, \sin x) \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx}$
解析
本题考查第一类曲线积分在求曲线形构件质量中的应用。解题思路如下：
- 首先明确第一类曲线积分的物理意义，对于线密度为$\rho(x,y)$的曲线形构件，其质量$M$可以用第一类曲线积分表示为$M = \int_L \rho(x, y) \, ds$，其中$L$为曲线形构件所在的曲线，$ds$为曲线的弧长微元。
- 然后求曲线$L:y = \sin x$，$x\in[0,\pi]$的弧长微元$ds$。
- 对$y = \sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$\frac{dy}{dx}=\cos x$。
- 根据弧长微元公式$ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx$，将$\frac{dy}{dx}=\cos x$代入，得到$ds = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$。
- 最后将$y = \sin x$和$ds = \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$代入质量公式$M = \int_L \rho(x, y) \, ds$，并确定积分区间为$[0,\pi]$，可得$M = \int_0^\pi \rho(x, \sin x) \sqrt{1 + \cos^2 x} \, dx$。