设函数 f(x,y)= ^2+{y)^2},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 . 则f(x,y)在O(0,0)处-|||-是否连续,是否可导?

本题主要考查函数在某点的连续性和可导性的判断。解题思路是先根据函数连续性的定义判断函数在点$(0,0)$处是否连续，再根据偏导数的定义判断函数在点$(0,0)$处是否可导。

1. 判断函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的连续性

函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续的定义为$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。
对于本题，$f(0,0) = 0$，我们需要计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$。
采用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则$x^2 + y^2 = r^2$，当$(x,y)\to(0,0)$时，$r\to0$。
此时$f(x,y)=\frac{xy}{x^2 + y^2}$可转化为$f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\frac{r\cos\theta\cdot r\sin\theta}{r^2}=\cos\theta\sin\theta$。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{r\to0}f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\lim\limits_{r\to0}\cos\theta\sin\theta=\cos\theta\sin\theta$。
由于极限值与$\theta$有关，即当$(x,y)$沿不同路径趋近于$(0,0)$时，极限值不同，所以$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不存在。
因为$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不存在，不满足$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$，所以函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处不连续。

2. 判断函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的可导性

根据偏导数的定义，函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处对$x$的偏导数$f_x(0,0)$为：
$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(0 + \Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$
将$f(0 + \Delta x,0)=\frac{(\Delta x)\cdot0}{(\Delta x)^2 + 0^2}=0$，$f(0,0)=0$代入上式可得：
$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{0 - 0}{\Delta x}=0$
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处对$y$的偏导数$f_y(0,0)$为：
$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(0,0 + \Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}$
将$f(0,0 + \Delta y)=\frac{0\cdot(\Delta y)}{0^2 + (\Delta y)^2}=0$，$f(0,0)=0$代入上式可得：
$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{0 - 0}{\Delta y}=0$
所以函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的两个偏导数都存在。