设 A 是 5 times 4 矩阵，且 A 的列向量组线性无关，则下列错误的是（）。A. 线性方程组 Ax = b 必有无穷解B. 齐次线性方程组 Ax = 0 必有非零解C. 齐次线性方程组 A^T x = 0 必有非零解D. 线性方程组 A^T x = b 必有无穷解

本题主要考查矩阵的秩、向量组的线性相关性以及线性方程组解的判定等知识点。解题的关键在于根据矩阵$A$的列向量组线性无关得出矩阵$A$的秩，再依据线性方程组解的判定定理来分析各个选项。

已知条件分析

已知$A$是$5\times4$矩阵，且$A$的列向量组线性无关。根据向量组线性无关的性质可知，矩阵$A$的列秩等于列向量的个数，即$r(A)=4$。

各选项分析

• 选项A：线性方程组$Ax = b$必有无穷解
  对于线性方程组$Ax = b$，$A$是$5\times4$矩阵，$r(A)=4$。增广矩阵$(A|b)$是$5\times5$矩阵，因为$r(A)\leq r(A|b)\leq4\lt5$，所以$r(A)=r(A|b)=4\lt5$（未知数个数）。根据线性方程组解的判定定理，当$r(A)=r(A|b)\lt n$（$n$为未知数个数）时，方程组有无穷多解，所以该选项正确。
• 选项B：齐次线性方程组$Ax = 0$必有非零解
  对于齐次线性方程组$Ax = 0$，$A$是$5\times4$矩阵，$r(A)=4$，未知数个数$n = 4$。根据齐次线性方程组解的判定定理，当$r(A)=n$时，方程组只有零解。因为$r(A)=4=n$，所以$Ax = 0$只有零解，而不是必有非零解，该选项错误。
• 选项C：齐次线性方程组$A^T x = 0$必有非零解
  $A^T$是$4\times5$矩阵，$r(A^T)=r(A)=4$，未知数个数$n = 5$。根据齐次线性方程组解的判定定理，当$r(A^T)\lt n$时，方程组有非零解。因为$r(A^T)=4\lt5=n$，所以$A^T x = 0$必有非零解，该选项正确。
• 选项D：线性方程组$A^T x = b$必有无穷解
  对于线性方程组$A^T x = b$，$A^T$是$4\times5$矩阵，$r(A^T)=4$。增广矩阵$(A^T|b)$是$4\times6$矩阵，因为$r(A^T)\leq r(A^T|b)\leq4\lt5$（未知数个数），所以$r(A^T)=r(A^T|b)=4\lt5$。根据线性方程组解的判定定理，当$r(A^T)=r(A^T|b)\lt n$（$n$为未知数个数）时，方程组有无穷多解，所以该选项正确。