设函数z=ln(x^2+y^2)，则dzbigg|(1,-2)=(）A. (4)/(5)dx+(1)/(5)dyB. (1)/(5)dx+(2)/(5)dyC. (2)/(5)dx-(4)/(5)dyD. (4)/(5)dx+(2)/(5)dy

本题考查全微分的计算，解题思路是先求出函数$z = \ln(x^2 + y^2)$关于$x$和$y$的偏导数，再将点$(1, -2)$代入偏导数中，最后根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算$dz\big|_{(1,-2)}$。

1. 求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$：
   根据复合函数求导法则，若$z = \ln(u)$，$u = x^2 + y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。
   • 对$z = \ln(u)$关于$u$求导，可得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
   • 对$u = x^2 + y^2$关于$x$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$。
   • 所以$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2 + y^2}$。
2. 求$z$关于$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$：
   同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。
   • 已求得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
   • 对$u = x^2 + y^2$关于$y$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=2y$。
   • 所以$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x^2 + y^2}\cdot 2y=\frac{2y}{x^2 + y^2}$。
3. 将点$(1, -2)$代入偏导数中：
   • 把$x = 1$，$y = -2$代入$\frac{\partial z}{\partial x}$，可得$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,-2)}=\frac{2\times 1}{1^2 + (-2)^2}=\frac{2}{1 + 4}=\frac{2}{5}$。
   • 把$x = 1$，$y = -2$代入$\frac{\partial z}{\partial y}$，可得$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,-2)}=\frac{2\times (-2)}{1^2 + (-2)^2}=\frac{-4}{1 + 4}=-\frac{4}{5}$。
4. 计算$dz\big|_{(1,-2)}$：
   根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,-2)}=\frac{2}{5}$，$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,-2)}=-\frac{4}{5}$代入可得：
   $dz\big|_{(1,-2)}=\frac{2}{5}dx-\frac{4}{5}dy$。